Razlika između verzija stranice "Trougao"
[pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
m Vraćene izmjene korisnika 185.13.241.208 (razgovor) na posljednju izmjenu korisnika 188.2.48.212 |
No edit summary |
||
Red 1: | Red 1: | ||
{{Nedostaju izvori}} |
{{Nedostaju izvori}} |
||
[[Datoteka:Triangulo-definicion.png|mini|Trokut]] |
[[Datoteka:Triangulo-definicion.png|mini|Trokut]] |
||
'''Trougao''' ili '''trokut''' je [[poligon]] koji ima tri [[stranica|stranice]]. |
:'''Trougao''' ili '''trokut''' je [[poligon]] koji ima tri [[stranica|stranice]]. |
||
== Vrste trouglova == |
== Vrste trouglova == |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
=== Pravougli trougao === |
=== Pravougli trougao === |
||
{{glavni|Pravougli trougao}} |
{{glavni|Pravougli trougao}} |
||
Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni ([[pravi ugao]]). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva ''hipotenuza'', i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu ''katete''. |
:Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni ([[pravi ugao]]). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva ''hipotenuza'', i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu ''katete''. |
||
:Obim je |
|||
:<math> O= a + b+ c </math> |
|||
:Površina je |
|||
:<math> P= \frac{ab}{2} = \frac{ch_c}{2} </math> |
|||
Prečnik opisamog kruga :<math> R=2t_c=c </math> |
|||
=== Tupougli trougao === |
=== Tupougli trougao === |
||
{{glavni|Tupougli trougao}} |
{{glavni|Tupougli trougao}} |
||
Tupougli trougao ima jedan unutrašnji ugao više od 90 stepeni ([[tupi ugao]]). |
Tupougli trougao ima jedan unutrašnji [[ugao]] više od 90 stepeni ([[tupi ugao]]). |
||
=== Oštrougli trougao === |
=== Oštrougli trougao === |
||
Red 33: | Red 37: | ||
Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni. |
Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni. |
||
:<math> \alpha = \beta = \gamma =60^o </math> |
|||
:<math> a = b = c </math> |
|||
:Obim <math> O= 3a </math> |
|||
:Površina <math> P= \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{h^2 \sqrt{3}}{3} </math> |
|||
:Visina <math> h= \frac {a \sqrt{3}}{2} </math> |
|||
:Poluprečnik opisanog kruga <math> R = \frac{2}{3} h = \frac{a\sqrt{3} }{3} </math> |
|||
:Poluprečnik upisanog kruga <math> r = \frac{1}{3} h = \frac{a\sqrt{3} }{6} </math> |
|||
=== Jednakokraki trougao === |
=== Jednakokraki trougao === |
||
{{glavni|Jednakokraki trougao}} |
{{glavni|Jednakokraki trougao}} |
||
Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla. |
Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla. Ima dvije jednake stranice i zovemo ih kraci, treću zovemo osnovica |
||
:<math> \alpha \ne \beta = \gamma </math> |
|||
:<math> a \ne b = c </math> |
|||
:Obim <math> O=a+2b </math> |
|||
:Površina je <math> P= \frac{ah_a}{2}= \frac{bh_b}{2} = \frac{a}{4}\sqrt{4b^2-a^2 } </math> |
|||
:Visina <math> h_a= b^2-(\frac{a}{2})^2 </math> |
|||
=== Raznostranični trougao === |
=== Raznostranični trougao === |
||
{{glavni|Raznostranični trougao}} |
{{glavni|Raznostranični trougao}} |
||
Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također svi različiti. |
Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također svi različiti. |
||
:<math> \alpha \ne \beta \ne \gamma </math> |
|||
:<math> a \ne b \ne c </math> |
|||
:Poluprečnik opisamog kruga <math> 2R= \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} </math> |
|||
<gallery> |
<gallery> |
||
Red 49: | Red 67: | ||
Datoteka:Triangle.Scalene.svg|Raznostranični trougao |
Datoteka:Triangle.Scalene.svg|Raznostranični trougao |
||
</gallery> |
</gallery> |
||
==Obim trougla== |
|||
Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla. |
|||
:<math> O= a + b + c </math> |
|||
Obim jednakokrakog trougla je |
|||
:<math> O= a + 2 b </math> |
|||
Obim istostraničnog trougla je |
|||
:<math> O= 3a </math> |
|||
== Površina == |
== Površina == |
||
Red 54: | Red 80: | ||
* [[Površina]] trougla ''P'' se računa tako što se osnovica (baza) ''b'' pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) ''h'' i rezultat se podijeli sa dva. |
* [[Površina]] trougla ''P'' se računa tako što se osnovica (baza) ''b'' pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) ''h'' i rezultat se podijeli sa dva. |
||
:''''' |
:'''''P = (b·h)/2''''', |
||
[[Datoteka:Triangle.GeometryArea.svg|mini|centar|300p|Grafički prikaz površine trougla]]<br /><br /> |
[[Datoteka:Triangle.GeometryArea.svg|mini|centar|300p|Grafički prikaz površine trougla]]<br /><br /> |
||
Površinu '' |
Površinu ''P'' možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): <math>P=\scriptstyle\sqrt{(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))}</math> gdje je <math>s</math> poluobim trougla; <math>s=(a+b+c)/2</math><br /> |
||
:<math> P= \frac{abc}{4R} = rs </math> |
|||
:<math> P= \frac{ab \sin \gamma}{2} = \frac{bc \sin \alpha}{2} = \frac{ac \sin \beta}{2} </math> |
|||
== Osobine trouglova (teoreme) == |
== Osobine trouglova (teoreme) == |
||
* Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π [[radian]]a). |
* Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π [[radian]]a). |
||
:<math> \alpha + \beta + \gamma = 180^o </math>. |
|||
:Zbir spoljašnjih uglova iznosi <math>360^o\,</math>. |
|||
:<math> \alpha_ {1} + \beta_ {1} + \gamma_ {1} = 360^o </math>. |
|||
:Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao |
|||
:<math> \alpha_ {1} + \alpha = 180^o </math> |
|||
:<math> \beta_ {1} + \beta = 180^o </math> |
|||
:<math> \gamma_ {1} + \gamma = 180^o </math> |
|||
:Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusedna unutrašnja ugla. |
|||
:<math> \alpha_ {1} = \beta + \gamma </math> |
|||
:<math> \beta_ {1} = \alpha + \gamma </math> |
|||
:<math> \gamma_ {1} = \alpha + \beta </math> |
|||
* [[Pitagorina teorema]] važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom ''c'' i katetama ''a'' i ''b'' i glasi: |
* [[Pitagorina teorema]] važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom ''c'' i katetama ''a'' i ''b'' i glasi: |
||
<div align="center"><math>a^2 + b^2 = c^2</math></div> |
<div align="center"><math>a^2 + b^2 = c^2</math></div> |
||
* U svim trouglima važi [[sinusna teorema]] koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova: |
* U svim trouglima važi [[sinusna teorema]] koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova: |
||
<div align="center"><math>\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}</math></div> |
<div align="center"><math>\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}</math></div> |
||
{{Stub-mat}} |
{{Stub-mat}} |
Verzija na dan 14 februar 2016 u 11:10
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Vrste trouglova
- Trouglovi se mogu razlikovati po unutrašnjim uglovima:
Pravougli trougao
- Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.
- Obim je
- Površina je
Prečnik opisamog kruga :
Tupougli trougao
Tupougli trougao ima jedan unutrašnji ugao više od 90 stepeni (tupi ugao).
Oštrougli trougao
Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manje od 90 stepeni (kosi uglovi).
-
Pravougli trougao
-
Tupougli trougao
-
Oštrougli trougao
Osim uglova, trougli se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:
Jednakostranični trougao
Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.
- Obim
- Površina
- Visina
- Poluprečnik opisanog kruga
- Poluprečnik upisanog kruga
Jednakokraki trougao
Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla. Ima dvije jednake stranice i zovemo ih kraci, treću zovemo osnovica
- Obim
- Površina je
- Visina
Raznostranični trougao
Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također svi različiti.
- Poluprečnik opisamog kruga
-
Jednakostranični trougao
-
Jednakokraki trougao
-
Raznostranični trougao
Obim trougla
Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.
Obim jednakokrakog trougla je
Obim istostraničnog trougla je
Površina
- Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.
- P = (b·h)/2,
Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): gdje je poluobim trougla;
Osobine trouglova (teoreme)
- Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).
- .
- Zbir spoljašnjih uglova iznosi .
- .
- Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao
- Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusedna unutrašnja ugla.
- Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:
- U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
Nedovršeni članak Trougao koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.
Također pogledajte
- Kosinusni teorem
- Sinusni teorem
- Tangensni teorem
- Pedoeova nejednakost
- Pitagorina teorema
- Pravougli trougao
Commons ima datoteke na temu: Trougao |