Razlika između verzija stranice "Euklidska udaljenost"

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
[pregledana izmjena][pregledana izmjena]
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
No edit summary
No edit summary
Red 19: Red 19:
ili
ili
:<math> \left\| \mathbf{q} - \mathbf{p} \right\| = \sqrt{ \left\| \mathbf{p} \right\|^2 + \left\| \mathbf{q} \right\| ^2 - 2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}} .</math>
:<math> \left\| \mathbf{q} - \mathbf{p} \right\| = \sqrt{ \left\| \mathbf{p} \right\|^2 + \left\| \mathbf{q} \right\| ^2 - 2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}} .</math>
===Jednodimenzionalna udaljenost===
==Jednodimenzionalna udaljenost==
u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je
u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je
:<math>\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|.</math>
:<math>\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|.</math>
===Dvodimenzionalna udaljenost===
==Dvodimenzionalna udaljenost==

Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog [[Pravougli trougao|pravouglog trougla]]:
Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog [[Pravougli trougao|pravouglog trougla]]:


Red 36: Red 35:


:<math>\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.</math>
:<math>\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.</math>
===Trodimenzionalna udaljenost===
==Trodimenzionalna udaljenost==
U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je
U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je
:<math>d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+(p_3 - q_3)^2}.</math>
:<math>d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+(p_3 - q_3)^2}.</math>
===n - domenzionalna udaljenost===
==n - domenzionalna udaljenost==
U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je
U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je
:<math>d(p, q) = \sqrt{(p_1- q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2}.</math><math></math>
:<math>d(p, q) = \sqrt{(p_1- q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2}.</math><math></math>
===Kvadrat Euklidske udaljenosti===
==Kvadrat Euklidske udaljenosti==
Kvadrat Euklidske udaljenosti je
Kvadrat Euklidske udaljenosti je
:<math>d^2(p, q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2.</math>
:<math>d^2(p, q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2.</math>

Verzija na dan 9 juli 2016 u 17:27

Euklidska udaljenost je najkraći razmak između dvije tačke u jednom prostoru. [1] U jednoj ravni je, primjera radi, definisana po Pitagorinoj teoremi[2]

Definicija

Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta linije koja ih povezuje (().

U Kartezijevim koordinatama, ako su i dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule:

 

 

 

 

( 1)

Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine vektora:

Vektor se može opisati kao orjentisana duž u Euklidskom prostoru. Ako uzmemo u obzir da je njegova dužina od početka do kraja te duži, postaje jasno da je Euklidska norma vektora poseban slučaj Euklidove udaljenosti:

U trodimenzionalnom prostoru (n = 3) Euklidska udaljenost između p i q je

 

 

 

 

( 2)

ili

Jednodimenzionalna udaljenost

u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je

Dvodimenzionalna udaljenost

Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog pravouglog trougla:

Dužina horizontalne linije je kateta: [2]

Dužina vertikalne linije je kateta: [2]

Prema tome udaljenost je hipotenuza: [2]

Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost. [2] Ako su tačke date u polarnim koordinatama onda

Trodimenzionalna udaljenost

U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je

n - domenzionalna udaljenost

U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je

Kvadrat Euklidske udaljenosti

Kvadrat Euklidske udaljenosti je

Reference

  1. ^ Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Rostock, Njemačka, njem. učitano 01.01.2014
  2. ^ a b c d e Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Wuppertal, Njemačka, njem. učitano 01.01.2014. (Napomena: x1 i x2 - tačke na x-osi, y1 i y2 - na y-osi. Na izvoru su to drugačije označene tačke.)