Razlika između verzija stranice "Limes (matematika)"
[pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
m KWiki premjestio je stranicu Granična vrijednost na Limes (matematika) |
mNo edit summary |
||
Red 1: | Red 1: | ||
⚫ | |||
{{Nedostaju izvori}} |
{{Nedostaju izvori}} |
||
⚫ | |||
U [[matematika|matematici]], '''granična vrijednost''' ili '''limes''' se koristi za opisivanje [[ponašanje|ponašanja]] [[Funkcija (matematika)|funkcije]] kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata [[niz]]a kako njihov [[indeks (matematika)|indeks]] raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u [[kalkulus]]u i drugim granama [[matematička analiza|matematičke analize]] kako bi se definisala [[derivacija]] i [[neprekidna funkcija|neprekidnost]]. |
U [[matematika|matematici]], '''granična vrijednost''' ili '''limes''' se koristi za opisivanje [[ponašanje|ponašanja]] [[Funkcija (matematika)|funkcije]] kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata [[niz]]a kako njihov [[indeks (matematika)|indeks]] raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u [[kalkulus]]u i drugim granama [[matematička analiza|matematičke analize]] kako bi se definisala [[derivacija]] i [[neprekidna funkcija|neprekidnost]]. |
||
Verzija na dan 25 august 2017 u 10:31
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
U matematici, granična vrijednost ili limes se koristi za opisivanje ponašanja funkcije kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata niza kako njihov indeks raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u kalkulusu i drugim granama matematičke analize kako bi se definisala derivacija i neprekidnost.
Granična vrijednost funkcije
Pretpostavimo da je ƒ(x) funkcija realne vrijednosti i da je c realan broj. Izraz:
znači da se ƒ(x) proizvoljno može približiti broju L ako je x dovoljno blizu broja c. U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od x, kada x teži u c, broj L".
Formalna definicija
Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:
Neka f bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući c (osim u c) i neka L bude realan broj.
znači da
- za svaki realan broj ε > 0 postoji realan broj δ > 0 takav da za svako x sa 0 < |x − c| < δ, imamo |f(x) − L| < ε.
ili, simbolički,
Granična vrijednost niza
Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.
formalno, pretpostavimo da je x1, x2, ... niz realnih brojeva. Kažemo da je realan broj L granična vrijednost ovog niza i to pišemo kao
što riječima znači
- Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj n0 takav da za svako n > n0, vrijedi |xn − L| < ε.
Korisni identiteti
- , gdje je S skalarni množilac.
- , gdje je b konstanta.
Slijedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.
- , ako limes u nazivniku nije jednak nuli
Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.
Na primjer, , ali je nedefinisan.
Veoma važne granične vrijednosti
L'Hôpitalovo pravilo
Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)
Na primjer:
Sume i integrali
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .