Visina trougla

malo

Visina trougla je duž određena vrhom trougla i podnožjem normale spuštene iz tog vrha na pravu koja sadrži naspramnu stranicu trougla.

U svakom trouglu moguće je konstruisati tri visine. Presjek pravih koje sadrže visine trougla naziva se ortocentar.

Visina se obično obilježava latiničnim slovom $h$.

Visina trougla koristiti se za izračunavanje površine trougla, koja je jednaka polovini proizvoda stranice i njoj odgovarajuće visine:

$P={\frac {a\cdot h_{a}}{2}}$

Visina u različitim vrstama trougla

Visina u pravouglom trouglu

malo

U pravouglom trouglu dvije visine se poklapaju sa katetama, a treća visina dijeli hipotenuzu na odsječke $p$ i $q$. Formula koja ih povezuje sa visinom koja ih dijeli glasi

$h={\sqrt {pq}}$ .

Visina u jednakokrakom trouglu

U jednakokrakom trouglu podnožje visine se poklapa sa središtem stranice. U ovom slučaju, visina se poklapa sa simetralom ugla i simetralom stranice.

Ortocentar

Ortocentar trougla je tačka u kojoj se sijeku sve tri visine trougla.

Ortocentar pripada unutrašnjosti trougla ako i samo ako je trougao oštrougli.

U pravouglom trouglu, ortocentar se nalazi na hipotenuzi pravog ugla, dok se u tupouglom trouglu ortocentar nalazi izvan trougla.

Ortocentar trougla ima i sledeće osobine.

1. Tačke simetrične ortocentru trougla u odnosu na prave određene stranicama trougla pripadaju kružnici opisanoj oko trougla.
2. Tačke simetrične ortocentru trougla u odnosu na sredine stranica trougla pripadaju kružnici opisanoj oko trougla
3. Rastojanje od tjemena do ortocentra trougla dvaput je veće od rastojanja centra opisane kružnice od naspramne stranice.

Trilinearne koordinate ortocentra

$H={\begin{bmatrix}cos\beta cos\gamma :cos\alpha cos\gamma :cos\alpha cos\beta \end{bmatrix}}$

Ortocentrični sistem

Ortocentrični sistem je sistem od četiri tačke u ravni - ortocentar trougla ($H$) zajedno sa sva tri njegova vrha ($A$, $B$ i $C$).

Za četiri tačke u ortocentričnom sistemu karakteristično je da je u isto vrijeme svaka od njih ortocentar za trougao koji obrazuju preostale tri tačke kao njegovi vrhovi. Ovako definisana četiri trougla: $ABC$, $ABH$, $ACH$ i $BCH$ imaju zajedničku Ojlerovu kružnicu.

Heronova formula

Heronova formula daje obrazac za izračunavanje dužine visine u trouglu poznavanjem dužina sve tri stranice.

U trouglu $ABC$ u kojem su dužine stranica $a$, $b$ i $c$, i $s=(a+b+c)/2$, visina normalna na stranicu $a$ računa se po formuli

$h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}$

Odnosi

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta$ $h_{a}={\frac {2P}{a}}$,

$h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ac:ab$

${\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}$,

r radijus upisane kružnoce. $h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}$, gdje je c osnova

$h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$ — za istostranični trougao

Izvori

Definition of Altitude

Orthocenter of a Triangle

HERON′˘S FORMULA

Треугольники

Značajne tačke i linije u trouglu