Razlika između verzija stranice "Trougao"
[nepregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
m Vraćene izmjene korisnika 94.189.205.151 (razgovor) na posljednju izmjenu korisnika BosnianWikiS oznaka: vraćanje |
|||
Red 188: | Red 188: | ||
#<math>A_1A_2A_3</math> je jednakostraničan trougao |
#<math>A_1A_2A_3</math> je jednakostraničan trougao |
||
#<math>z_3-z_1=\epsilon (z_2-z_1)</math> za <math>\epsilon \cos \frac{\pi }{3}+ i\sin \frac{\pi }{3} |
#<math>z_3-z_1=\epsilon (z_2-z_1)</math> za <math>\epsilon \cos \frac{\pi }{3}+ i\sin \frac{\pi }{3} |
||
</math> |
</math> |
||
#<math>z_2-z_1=\epsilon (z_3-z_1)</math> za <math>\epsilon \cos \frac{5 \pi }{3}+ i\sin \frac{5 \pi }{3} |
#<math>z_2-z_1=\epsilon (z_3-z_1)</math> za <math>\epsilon \cos \frac{5 \pi }{3}+ i\sin \frac{5 \pi }{3} |
||
</math> |
</math> |
Verzija na dan 2 juni 2020 u 09:02
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Trougao ili trokut je poligon koji ima tri stranice i tri ugla. Jedan je od osnovnih oblika u geometriji. Trougao sa uglovima u tačkama A, B i C se označava kao .
Vrste trouglova
- Trouglovi se mogu razlikovati po unutrašnjim uglovima:
Pravougli trougao
- Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.
- Obim je
- Površina je
Prečnik opisanog kruga :
Tupougli trougao
Tupougli trougao ima jedan unutrašnji ugao više od 90 stepeni (tupi ugao).
Oštrougli trougao
Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manje od 90 stepeni (kosi uglovi).
-
Pravougli trougao
-
Tupougli trougao
-
Oštrougli trougao
Osim uglova, trouglovi se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:
Jednakostranični trougao
Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.
- Obim
- Površina
- Visina
- Poluprečnik opisanog kruga
- Poluprečnik upisanog kruga
Jednakokraki trougao
Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla. Ima dvije jednake stranice i zovemo ih kraci, treću zovemo osnovica
- Obim
- Površina je
- Visina
Raznostranični trougao
Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također svi različiti.
- Poluprečnik opisamog kruga
-
Jednakostranični trougao
-
Jednakokraki trougao
-
Raznostranični trougao
Obim trougla
Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.
Obim jednakokrakog trougla je
Obim istostraničnog trougla je
Površina
- Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.
- P = (b·h)/2,
Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): gdje je poluobim trougla;
- Neka su date koordinate vrhova trougla , , površina trougla je
Osobine trouglova (teoreme)
- Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).
- .
Treba istaći da ova jednakost važi samo u Euklidskoj geometriji, a ne u drugim tipovima geometrije, kao što je sferna geometrija i hiperbolična geometrija, gdje je ova suma veća ili manja od 180 °;
- Zbir spoljašnjih uglova iznosi .
- .
- Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao
- Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja ugla.
- Zbir dužina dvije stranice trougla veći je od dužine treće stranice, a razlika manja.
- Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:
- U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
Značajne tačke trougla
- Centar opisane kružnice trougla nalazi se u presjeku simetrala stranica trougla a poluprečnik je
- Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.
- Centar upisane kružnice trougla nalazi se u presjeku simetrala uglova trougla a poluprečnik je
- Težište trougla T nalazi se u presjeku težišnih duži trougla
- Ortocentar trougla H nalazi se u presjeku pravih kojima pripadaju visine trougla
Sličnost trougla
- Dva trougla su slična ako imaju dva ugla jednaka.
- Dva trougla su slična ako su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.
- ; :
- Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična
- ; <
- Ako se stranice dva slična trougla odnose kao : tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu :, a površine se odnose kao :.
- Ako je dužina hipotenuze onda primjena sličnosti na pravougli trougao imamo
Trougao u kompleksnoj ravni
Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.
Trouglovi i su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je
Dokaz
onda i samo onda ako je
i
Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa
Ovaj uslov je ekvivalentan sa uslovom
Lako je provjeriti da za trouglove , , i ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi slijedeći stav.
Ako su tjemena trougla određena su kompleksnim brojevima respektivno, tada su slijedeća tvrđenja ekvivalentna:
- je jednakostraničan trougao
- gdje je
- (z_1+ \epsilon z_2+ \epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+ \epsilon z_3)=0 za
Ako su tjemena pozitivno orjentisanog trougla sljedeća tvrđenja su ekvivalentna
- je jednakostraničan trougao
- za
- za
- [1]
Također pogledajte
- Kosinusni teorem
- Sinusni teorem
- Tangensni teorem
- Pedoeova nejednakost
- Pitagorina teorema
- Pravougli trougao
Commons ima datoteke na temu: Trougao |
Nedovršeni članak Trougao koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.
Reference
- ^ Primene kompleksnih brojeva u geometriji/Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.