Relacija (matematika)

Neka je zadan skup A={1,2,3}, onda je

AxA={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Posmatrajmo parove gdje je prva koordinata manja od druge.

Skup {(1,2), (1,3),(2,3) } je relacija između elemeneta skupa A ( relacija predstavlja vezu među veličinama).

Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A manji je od (veči je od) elementa y iz B. Ovo je relacija biti manji od (biti veči od). Relaciju biti veči od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }.neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.

Važnije binarne relacije

Refleksina relacija

Za relaciju $R\subset AxA$ kažemo da je refleksivna (povratna )onda i samo onda ako je

aRa za a iz A tj ako R sadrži dijagonalu D(A² )

Simetrična relacija

Za relaciju $R\subset AxA$ kažemo da je simetrična ako ima osobinu Ako je aRb onda je i bRa tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali D(A² )

Tranzitivne relacije

Za relaciju $R\subset AxA$ kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu Ako je aRb & bRc onda je aRc

Antisimetrična relacija

Za relaciju $R\subset AxA$ kažemo da je antisimetrična ako i samo ako ima osobinu

ako je aRb & bRa onda je a=b

Zakon trihitomije

Za binarnu relaciju R zadanu na skupu S kažemo da zadovoljava zakon trihotomije ako isamo ako vrijedi

a<b; b<a ili a=b

Relacija ekvivalencije

Relacija ekvivalencije je relacija koja je

1. Refleksivna
2. Simetrična
3. Tranzitivna

Primjer biti paralelan

a║ a izlazi iz definicije za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.

a║ b=> b║ a

a║ b & b║ c => a║ c

Ako je R relacija ekvivalencije na skupu A i a iz A onda skup svih elemenata x iz A za koje vrijedi xRa zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa a u odnosu na relaciju R i označavamo sa C_a

Teorema

Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu R određuje rastavljanje skupa A na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije. Svako disjunkno rastavljanje skupa A određuje u A relaciju ekvivalencije.

Ako je R relacija ekvivalencije u skupa u A onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata s obzirom na relaciju R označavamo sa A/R i nazivamo kvocijentni skup skupa A modulo R.

Neka je data ravan α , prava a i tačke A,B,C u toj ravni. Tačke A,B, C ne leže na pravoj a. Prava a siječe duž AB ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži AB.

Uređajna relacija

Relacija $R\subset AxA$ zove se relacija parcijalnog uređenja skupa S , a skup S parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju R ako je ona refleksivna., tranzitivna i antisimetrična

Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva zove se linearno (potpuno) uređen skup.

Relacija $\leq$ je linearno uređena relacija

$a\leq a$

$a\leq b$ & $b\leq a$ onda je a=b

ako je $a\leq b$ & $b\leq c$ onda je i $a\leq c$

Za binarnu relaciju R definisanu na skupu S podskup od AxA kažemo da je strogo linearno urđena ako za nju vrijedi zakon tranzitivnosti.

Neka je$\leq$ uređajna relacija u skupu S (ne nužno) uređajna je ako su a, b, c elementi iz S ili ako je $a\leq b$ & $b\leq a$

Neka je $\leq$ uređajna relacija u skupu S ako su a, b elementi iz S i vrijedi $a\leq b$ kažemo da je a predhodnik elementa b, a ako vrijedi $b\leq a$onda je b sljedbenik elementa a sobzirom na relaciju $\leq$.

Neka je $\leq$ uređajna relacija u S i neka je A podskup od S onda ako u S postoji takav element m da za svako a iz A vrijedi $m\leq a$ onda m nazivamo minoranta donja granica skupa A.

Analogno ako postoji M iz A da za svako a iz A vrijedi a $a\leq M$. onda M nazivamo majoranta gornja granica skupa A.

Nekaj je $\leq$uređajna relacija skupa S i ako je A podskup od S skup svih mjoranata skupa A označimo ga sa P, a skup svih majoranata skupa A označimo sa Q . Ako postoji max P zovemo ga infinum od A(ozanaka inf A ) , a ako postoji min Q zovemo supremum oznaka supQ) .

Nedovršeni članak Relacija (matematika) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.