Razlika između verzija stranice "Prsten (matematika)"
[nepregledana izmjena] | [nepregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
Nova strana: U matematici, '''prsten''' je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvije binarne operacije + (sabiranje eleme... |
m robot Dodaje: cs, hr, lmo, nov, sk, ta, tr, vi Mijenja: ca, es, ja, uk |
||
Red 45: | Red 45: | ||
[[ar:حلقة (رياضيات)]] |
[[ar:حلقة (رياضيات)]] |
||
[[ca:Anell ( |
[[ca:Anell (matemàtiques)]] |
||
[[cs:Okruh (algebra)]] |
|||
[[da:Ring (matematik)]] |
[[da:Ring (matematik)]] |
||
[[de:Ringtheorie]] |
[[de:Ringtheorie]] |
||
[[el:Δακτύλιος (άλγεβρα)]] |
[[el:Δακτύλιος (άλγεβρα)]] |
||
[[en:Ring (mathematics)]] |
[[en:Ring (mathematics)]] |
||
⚫ | |||
[[eo:Ringo (algebro)]] |
[[eo:Ringo (algebro)]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[fr:Anneau (mathématiques)]] |
[[fr:Anneau (mathématiques)]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[he:חוג (מבנה אלגברי)]] |
[[he:חוג (מבנה אלגברי)]] |
||
[[hr:Prsten (matematika)]] |
|||
[[hu:Gyűrű (matematika)]] |
[[hu:Gyűrű (matematika)]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[lmo:Anell (matemàtica)]] |
|||
[[nl:Ring (wiskunde)]] |
[[nl:Ring (wiskunde)]] |
||
[[nov:Ringe (matematike)]] |
|||
⚫ | |||
[[pl:Pierścień (matematyka)]] |
[[pl:Pierścień (matematyka)]] |
||
[[pt:Anel (álgebra)]] |
[[pt:Anel (álgebra)]] |
||
[[ro:Inel (algebră)]] |
[[ro:Inel (algebră)]] |
||
[[ru:Кольцо (алгебра)]] |
[[ru:Кольцо (алгебра)]] |
||
[[sk:Okruh (algebra)]] |
|||
[[sl:Kolobar]] |
[[sl:Kolobar]] |
||
[[sr:Прстен (математика)]] |
[[sr:Прстен (математика)]] |
||
[[sv:Ring (matematik)]] |
[[sv:Ring (matematik)]] |
||
[[ta:வளையம் (கணிதம்)]] |
|||
⚫ | |||
[[ |
[[tr:Halka (matematik)]] |
||
[[uk:Кільце (алгебра)]] |
|||
[[vi:Vành]] |
|||
[[zh:环]] |
[[zh:环]] |
||
[[zh-classical:環 (代數)]] |
[[zh-classical:環 (代數)]] |
Verzija na dan 1 novembar 2007 u 19:49
U matematici, prsten je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvije binarne operacije + (sabiranje elemenata prstena) i · (množenje elemenata prstena), tako da vrijedi:
- (R, +) je abelova grupa, tj. ∀ a, b, c ∈ R vrijedi:
- asocijativnost sabiranja:
- (a + b) + c = a + (b + c)
- neutralni element za zbrajanje
- (∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a
- ∀ a∈R ∃ suprotni element -a∈R takav da je
- a + (-a) = (-a) + a = 0
- komutativnost sabiranja
- a + b = b + a
- (R, ·) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno
- (ab)c = a(bc)
- operacije sabiranja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije:
- ∀ a, b, c ∈ R vrijedi :
- a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc
Primjeri
- Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji je neutralni element i za zbrajanje i za množenje
- Prsten cijelih brojeva s operacijama zbrajanja i množenja. To je komutativan prsten
- Racionalni, realni i kompleksni brojevi tvore prstene (štoviše, oni su i polja).
- Gaussovi cijeli brojevi tvore prsten.
- Prsten polinoma R[X] s koeficijentima iz prstena R je također prsten.
- Primjer nekomutativnog prstena: Za bilo koji prsten R i proizvoljan prirodan broj n, skup svih kvadratnih n×n matrica s koeficijentima iz R, tvori prsten s operacijama zbrajanja i množenja matrica kao pripadnim operacijama. Za n = 1, ovaj prsten matrica je (izomorfan s) R. Za n≥2, ovaj prsten matrica je primjer nekomutativnog prstena (osim ako je R trivijalan prsten).
- Primjer konačnog prstena: Ako je n pozitivan cijeli broj, onda skup cijelih brojeva modulo n (koji je kao aditivna grupa ciklička grupa reda n) tvori prsten s n elemenata.
Osnovni teoremi
Iz aksioma se izravno može zaključiti da ako je prsten, imamo:
- , pod uvjetom da su i a i b invertibilni.
Ostali osnovni teoremi:
- Neutralni element 1 je jedinstven
- Ako element prstena ima inverz za množenje, onda je taj inverz jedinstven.
- Ako prsten ima barem dva elementa, onda je 0 ≠ 1