Razlika između verzija stranice "Relacija (matematika)"

Pregled historije

[nepregledana izmjena]

← Starija izmjena Novija izmjena →

Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj

VizualnoWikitekst

U redovima

Verzija na dan 31 mart 2008 u 14:57

Neka je zadan skup A={1,2,3}, onda je

AxA={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Posmatrajmo parove gdje je prva koordinata manja od druge.

Skup {(1,2), (1,3),(2,3) } je relacija između elementa skupa A (relacija predstavlja vezu među veličinama).

Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A manji je od (veći je od) elementa y iz B. Ovo je relacija biti manji od (biti veći od). Relaciju biti veći od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }. Neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.

Važnije binarne relacije

Refleksivna relacija

Za relaciju $R\subset AxA$ kažemo da je refleksivna (povratna) onda i samo onda ako je aRa za a iz A tj ako R sadrži dijagonalu D(A²)

Simetrična relacija

Za relaciju $R\subset AxA$ kažemo da je simetrična ako ima osobinu Ako je aRb onda je i bRa tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali D(A²)

Tranzitivne relacije

Za relaciju $R\subset AxA$ kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu Ako je aRb & bRc onda je aRc

Antisimetrična relacija

Za relaciju $R\subset AxA$ kažemo da je antisimetrična ako i samo ako ima osobinu ako je aRb & bRa onda je a=b

Zakon trihitomije

Za binarnu relaciju R zadanu na skupu S kažemo da zadovoljava zakon trihotomije ako i samo ako vrijedi

a<b; b<a ili a=b

Relacija ekvivalencije

Relacija ekvivalencije je relacija koja je:

Refleksivna
Simetrična
Tranzitivna

Primjer biti paralelan

a║ a izlazi iz definicije za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.

a║ b=> b║ a

a║ b & b║ c => a║ c

Ako je R relacija ekvivalencije na skupu A i a iz A onda skup svih elemenata x iz A za koje vrijedi xRa zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa a u odnosu na relaciju R i označavamo sa C_a

Teorema

Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu R određuje rastavljanje skupa A na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije. Svako disjunkno rastavljanje skupa A određuje u A relaciju ekvivalencije.

Ako je R relacija ekvivalencije u skupa u A onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata s obzirom na relaciju R označavamo sa A/R i nazivamo kvocijentni skup skupa A modulo R.

Neka je data ravan α, prava a i tačke A,B,C u toj ravni. Tačke A, B, C ne leže na pravoj a. Prava a siječe duž AB ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži AB.

Uređajna relacija

Relacija $R\subset AxA$ zove se relacija parcijalnog uređenja skupa S, a skup S parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju R ako je ona refleksivna, tranzitivna i antisimetrična

Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva zove se linearno (potpuno) uređen skup.

Relacija $\leq$ je linearno uređena relacija

$a\leq a$

$a\leq b$ & $b\leq a$ onda je a=b

ako je $a\leq b$ & $b\leq c$ onda je i $a\leq c$

Za binarnu relaciju R definisanu na skupu S podskup od AxA kažemo da je strogo linearno urđena ako za nju vrijedi zakon tranzitivnosti.

Neka je $\leq$ uređajna relacija u skupu S (ne nužno) uređajna je ako su a, b, c elementi iz S ili ako je $a\leq b$ & $b\leq a$

Neka je $\leq$ uređajna relacija u skupu S ako su a, b elementi iz S i vrijedi $a\leq b$ kažemo da je a predhodnik elementa b, a ako vrijedi $b\leq a$ onda je b sljedbenik elementa a sobzirom na relaciju $\leq$ .

Neka je $\leq$ uređajna relacija u S i neka je A podskup od S onda ako u S postoji takav element m da za svako a iz A vrijedi $m\leq a$ onda m nazivamo minoranta donja granica skupa A.

Analogno ako postoji M iz A da za svako a iz A vrijedi a $a\leq M$ . onda M nazivamo majoranta gornja granica skupa A.

Nekaj je $\leq$ uređajna relacija skupa S i ako je A podskup od S skup svih mjoranata skupa A označimo ga sa P, a skup svih majoranata skupa A označimo sa Q. Ako postoji max P zovemo ga infinum od A (oznaka inf A), a ako postoji min Q zovemo supremum oznaka supQ.

Nedovršeni članak Relacija (matematika) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.

@@ Red 5: / Red 5: @@
 Posmatrajmo parove gdje je prva koordinata manja od druge.
-Skup {(1,2), (1,3),(2,3) }
+Skup {(1,2), (1,3),(2,3) } je relacija između elementa skupa A (relacija predstavlja vezu među veličinama).
-je relacija između elemeneta  skupa A ( relacija predstavlja vezu među veličinama).
-Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A  manji je od (veči je od) elementa y iz B.
+Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A manji je od (veći je od) elementa y iz B.
-Ovo je relacija biti manji od (biti veči od). Relaciju biti veči od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }.neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.
+Ovo je relacija biti manji od (biti veći od). Relaciju biti veći od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }. Neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.
 == Važnije binarne relacije ==
+=== Refleksivna relacija ===
+Za relaciju <math>R\subset AxA</math> kažemo da je refleksivna (povratna) onda i samo onda ako je aRa za a iz A tj ako R sadrži dijagonalu D(A<sup>2</sup>)
-=== Refleksina relacija ===
+=== Simetrična relacija ===
-Za relaciju <math>R\subset AxA</math>  kažemo da je refleksivna (povratna )onda i samo onda ako je
+Za relaciju <math>R\subset AxA</math> kažemo da je simetrična ako ima osobinu
-aRa za a iz A tj ako R sadrži dijagonalu  D(A<sup>2</sup> )
+Ako je aRb onda je i bRa tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali D(A<sup>2</sup>)
-=== Simetrična relacija ===
-Za relaciju  <math>R\subset AxA</math>   kažemo da je simetrična ako ima osobinu
-Ako je aRb onda je i bRa tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali
-D(A<sup>2</sup> )
 === Tranzitivne relacije ===
-Za relaciju    <math>R\subset AxA</math>    kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu
+Za relaciju <math>R\subset AxA</math> kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu
 Ako je aRb & bRc onda je aRc
 === Antisimetrična relacija ===
+Za relaciju <math>R\subset AxA</math> kažemo da je antisimetrična ako i samo ako ima osobinu
-Za relaciju <math>R\subset AxA</math>    kažemo da je antisimetrična ako  i samo ako ima osobinu
 ako je aRb & bRa onda je a=b
@@ Red 46: / Red 38: @@
 == Relacija ekvivalencije ==
-Relacija ekvivalencije  je relacija koja je
+Relacija ekvivalencije je relacija koja je:
 #Refleksivna
 #Simetrična
@@ Red 52: / Red 44: @@
 Primjer biti paralelan
-a║ a           izlazi iz definicije  za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne  onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.
+a║ a           izlazi iz definicije za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.
 a║ b=> b║ a
@@ Red 58: / Red 50: @@
 a║ b & b║ c => a║ c
+Ako je R relacija ekvivalencije na skupu A i a iz A onda skup svih elemenata x iz A za koje vrijedi xRa zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa a u odnosu na relaciju R i označavamo sa C<sub>a</sub>
-Ako je R relacija ekvivalencije na skupu A i a iz A onda skup svih elemenata x iz A za koje vrijedi xRa zovemo klasom elemenata ekvivalentnih  sa a u odnosu na relaciju R i  označavamo sa C<sub>a</sub>
 Teorema
-Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu R  određuje rastavljanje skupa A na  disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije.
+Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu R određuje rastavljanje skupa A na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije.
-Svako disjunkno rastavljanje skupa A određuje  u A relaciju ekvivalencije.
+Svako disjunkno rastavljanje skupa A određuje u A relaciju ekvivalencije.
-Ako je R relacija ekvivalencije u skupa u A onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata s obzirom na relaciju R označavamo sa A/R  i nazivamo kvocijentni skup skupa A  modulo R.
+Ako je R relacija ekvivalencije u skupa u A onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata s obzirom na relaciju R označavamo sa A/R i nazivamo kvocijentni skup skupa A modulo R.
-Neka je data ravan α , prava a i tačke A,B,C u toj ravni. Tačke A,B, C ne leže na pravoj a. Prava a siječe duž AB ako  imaju jednu zajedničku tačku  koja je unutrašnja tačka duži AB.
+Neka je data ravan α, prava a i tačke A,B,C u toj ravni. Tačke A, B, C ne leže na pravoj a. Prava a siječe duž AB ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži AB.
 == Uređajna relacija ==
-Relacija <math>R\subset AxA</math> zove se relacija parcijalnog uređenja  skupa S , a skup S parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju R ako je ona refleksivna., tranzitivna i antisimetrična
+Relacija <math>R\subset AxA</math> zove se relacija parcijalnog uređenja skupa S, a skup S parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju R ako je ona refleksivna, tranzitivna i antisimetrična
 Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva zove se linearno (potpuno) [[uređen skup]].
@@ Red 83: / Red 74: @@
 ako je <math> a\leq b</math> & <math> b\leq c</math> onda je i <math> a\leq c</math>
 Za binarnu relaciju R definisanu na skupu S podskup od AxA  kažemo da je strogo linearno urđena ako za nju vrijedi zakon tranzitivnosti.
 Neka je<math> \leq </math> uređajna relacija u skupu S (ne nužno) uređajna je ako su a, b, c elementi iz S ili ako je <math> a\leq  b</math>  & <math> b\leq  a</math>
-Neka je <math> \leq </math> uređajna relacija u skupu S   ako su a, b elementi iz S i vrijedi <math> a\leq  b</math> kažemo  da je a predhodnik elementa b, a ako vrijedi <math> b\leq a</math>onda je b sljedbenik elementa a sobzirom na relaciju <math> \leq </math>.
+Neka je <math> \leq </math> uređajna relacija u skupu S ako su a, b elementi iz S i vrijedi <math> a\leq  b</math> kažemo da je a predhodnik elementa b, a ako vrijedi <math> b\leq a</math>onda je b sljedbenik elementa a sobzirom na relaciju <math> \leq </math>.
-Neka je <math> \leq </math> uređajna relacija u S i neka je A podskup od S onda ako u S postoji takav element m da za svako a iz A vrijedi <math> m\leq a</math>
+Neka je <math> \leq </math> uređajna relacija u S i neka je A podskup od S onda ako u S postoji takav element m da za svako a iz A vrijedi <math> m\leq a</math> onda m nazivamo minoranta donja granica skupa A.
-onda m nazivamo minoranta donja granica skupa A.
-Analogno ako postoji M iz A da za svako a iz A vrijedi a  <math> a\leq M</math>. onda  M nazivamo majoranta gornja granica skupa A.
+Analogno ako postoji M iz A da za svako a iz A vrijedi a <math> a\leq M</math>. onda M nazivamo majoranta gornja granica skupa A.
-Nekaj je <math> \leq </math>uređajna relacija skupa S i ako je A podskup od S skup svih mjoranata skupa A označimo ga sa P, a skup svih majoranata skupa A označimo sa Q . Ako postoji max P zovemo ga infinum od A(ozanaka inf A ) , a ako postoji min Q zovemo supremum oznaka supQ)  .
+Nekaj je <math> \leq </math> uređajna relacija skupa S i ako je A podskup od S skup svih mjoranata skupa A označimo ga sa P, a skup svih majoranata skupa A označimo sa Q. Ako postoji max P zovemo ga infinum od A (oznaka inf A), a ako postoji min Q zovemo supremum oznaka supQ.
 {{stub-mat}}