Razlika između verzija stranice "Prsten (matematika)"

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
[nepregledana izmjena][nepregledana izmjena]
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
SieBot (razgovor | doprinosi)
m robot Dodaje: nn:Ring i matematikk
m robot Mijenja: ro:Inel (matematică)
Red 71: Red 71:
[[pl:Pierścień (matematyka)]]
[[pl:Pierścień (matematyka)]]
[[pt:Anel (matemática)]]
[[pt:Anel (matemática)]]
[[ro:Inel (algebră)]]
[[ro:Inel (matematică)]]
[[ru:Кольцо (математика)]]
[[ru:Кольцо (математика)]]
[[simple:Ring (mathematics)]]
[[simple:Ring (mathematics)]]

Verzija na dan 9 juni 2008 u 19:15

U matematici, prsten je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvije binarne operacije + (sabiranje elemenata prstena) i · (množenje elemenata prstena), tako da vrijedi:

  1. (R, +) je abelova grupa, tj. ∀ a, b, c ∈ R vrijedi:
  • asocijativnost sabiranja:
(a + b) + c = a + (b + c)
  • neutralni element za zbrajanje
(∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a
  • ∀ a∈R ∃ suprotni element -a∈R takav da je
a + (-a) = (-a) + a = 0
  • komutativnost sabiranja
a + b = b + a
  1. (R, ·) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno
(ab)c = a(bc)
  1. operacije sabiranja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije:
∀ a, b, c ∈ R vrijedi :
a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc

Primjeri

  • Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji je neutralni element i za zbrajanje i za množenje
  • Prsten cijelih brojeva s operacijama zbrajanja i množenja. To je komutativan prsten
  • Gaussovi cijeli brojevi tvore prsten.
  • Prsten polinoma R[X] s koeficijentima iz prstena R je također prsten.
  • Primjer nekomutativnog prstena: Za bilo koji prsten R i proizvoljan prirodan broj n, skup svih kvadratnih n×n matrica s koeficijentima iz R, tvori prsten s operacijama zbrajanja i množenja matrica kao pripadnim operacijama. Za n = 1, ovaj prsten matrica je (izomorfan s) R. Za n≥2, ovaj prsten matrica je primjer nekomutativnog prstena (osim ako je R trivijalan prsten).
  • Primjer konačnog prstena: Ako je n pozitivan cijeli broj, onda skup cijelih brojeva modulo n (koji je kao aditivna grupa ciklička grupa reda n) tvori prsten s n elemenata.

Osnovni teoremi

Iz aksioma se izravno može zaključiti da ako je prsten, imamo:

  • , pod uvjetom da su i a i b invertibilni.

Ostali osnovni teoremi:

  • Neutralni element 1 je jedinstven
  • Ako element prstena ima inverz za množenje, onda je taj inverz jedinstven.
  • Ako prsten ima barem dva elementa, onda je 0 ≠ 1