Skalarni proizvod

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos \phi$

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

Definicija i primjer

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a₁, a₂, … , a_n] i vektora b = [b₁, b₂, … , b_n] :

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

• gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

${\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix}}=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.$

Geometrijska interpretacija

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,$ $\Longrightarrow$ $\theta =\arccos \left({\frac {{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {b}}}{|{\mathbf {a}}||{\mathbf {b}}|}}\right).$

Također pogledajte

• Vektorski zbir