Tablični integrali

Ovaj članak prikazuje spisak nekih najčešćih antiderivacija; kompletniju listu možete pronaći na članku spisak integrala.

Osnovna pravila integriranja

$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\qquad {\mbox{(}}a{\mbox{ constant)}}\,\!$

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left[f'(x)\left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$

$\int [f(x)]^{n}f'(x)\,dx={[f(x)]^{n+1} \over n+1}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C$

$\int {f'(x)f(x)}\,dx={1 \over 2}[f(x)]^{2}+C$

Integrali prostih funkcija

Racionalne funkcije

Više na: Spisak integrala racionalnih funkcija

$\int \,{\rm {d}}x=x+C$

$\int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1$

$\int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C$

Iracionalne funkcije

Više na: Spisak integrala iracionalnih funkcija

$\int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\sin ^{-1}{x \over a}+C$

$\int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\cos ^{-1}{x \over a}+C$

$\int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec ^{-1}{|x| \over a}+C$

Logaritmi

Više na: Spisak integrala logaritamskih funkcija

$\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

$\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C$

Eksponencijalne funkcije

Više na: Spisak integrala eksponencijalnih funkcija

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

Trigonometrijske funkcije

Više na: Spisak integrala trigonometrijskih funkcija i Spisak integrala arkusnih funkcija

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \tan ^{-1}{x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$

Hiperboličke funkcije

Više na: Spisak integrala hiperboličkih funkcija

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

Inverzne hiperboličke funkcije

$\int \sinh ^{-1}x\,dx=x\sinh ^{-1}x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \cosh ^{-1}x\,dx=x\cosh ^{-1}x+{\sqrt {x^{2}-1}}+C$

$\int \tanh ^{-1}x\,dx=x\tanh ^{-1}x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C$

$\int {\mbox{csch}}^{-1}\,x\,dx=x{\mbox{csch}}^{-1}\ x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C$

$\int {\mbox{sech}}^{-1}\,x\,dx=x{\mbox{sech}}^{-1}\ x-\tan ^{-1}{\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C$

$\int \coth ^{-1}x\,dx=x\coth ^{-1}x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C$

Određeni nepravi integrali

Postoje funkcije čiji se integrali ne mogu predstaviti u zatvorenom intervalu (integral [a,b]).

$\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (također pogledajte Gama funkcija)

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (Gausov integral)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (također pogledajte Bernulijev broj)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}}{\frac {\pi }{2}}$ (if n is an even integer and $\scriptstyle {n\geq 2}$)

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}}$ (if $\scriptstyle {n}$ is an odd integer and $\scriptstyle {n\geq 3}$)

$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$ (gdje je $\Gamma (z)$ gama funkcija)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$ (gdje je $\exp[u]$ eksponencijalna funkcija $e^{u}$.)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (gdje je $I_{0}(x)$ modificirana Beselova funkcija prve vrste)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

"Sofomorov san"

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}=\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx\quad \quad (=1.291285997\dots )$

$\sum _{n=1}^{\infty }-(-1)^{n}n^{-n}=\int _{0}^{1}x^{x}\,dx\quad \quad (=0.783430510712\dots )$

(Pogledajte Johann Bernoulli i sofomorov san).