Trougao

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Trokut

Trougao ili trokut je poligon koji ima tri stranice i tri ugla. Jedan je od osnovnih oblika u geometriji. Trougao sa uglovima u tačkama A, B i C se označava kao . Zbir svih unutrašnjih uglova u trouglu iznosi 180°.

Vrste trouglova[uredi | uredi izvor]

Trouglovi se mogu razlikovati na osnovu dužina stranica, odnosno njihovom međusobnom odnosu kao i veličini unutrašnjih uglova.

Prema unutrašnjim uglovima[uredi | uredi izvor]

Pravougli trougao[uredi | uredi izvor]

Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.
Obim je
Površina je

Prečnik opisanog kruga:

Tupougli trougao[uredi | uredi izvor]

Tupougli trougao je trougao kod kojeg je jedan unutrašnji ugao veći od 90 stepeni i taj ugao se naziva (tupi ugao).

Oštrougli trougao[uredi | uredi izvor]

Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manja od 90 stepeni (kosi uglovi).

Osim uglova, trouglovi se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:

Prema stranici i njihovom međusobnom odnosu[uredi | uredi izvor]

Jednakostranični trougao[uredi | uredi izvor]

Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.

Obim
Površina
Visina
Poluprečnik opisanog kruga
Poluprečnik upisanog kruga

Jednakokraki trougao[uredi | uredi izvor]

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Iste stranice jednakokrakog trougla nazivaju se kraci a preostala stranica je osnovica. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla.

Obim
Površina je
Visina

Raznostranični trougao[uredi | uredi izvor]

Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također različiti.

Poluprečnik opisamog kruga

Obim trougla[uredi | uredi izvor]

Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.

Obim jednakokrakog trougla je

Obim istostraničnog trougla je

Površina[uredi | uredi izvor]

  • Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.
P = (b·h)/2,
Grafički prikaz površine trougla

Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): gdje je poluobim trougla;

Neka su date koordinate vrhova trougla , , površina trougla je

Osobine trouglova (teoreme)[uredi | uredi izvor]

  • Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).
.

Treba istaći da ova jednakost važi samo u Euklidskoj geometriji, a ne u drugim tipovima geometrije, kao što je sferna geometrija i hiperbolična geometrija, gdje je ova suma veća ili manja od 180 °;

Zbir spoljašnjih uglova iznosi .
.
Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao
Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja ugla.
  • Zbir dužina dvije stranice trougla veći je od dužine treće stranice, a razlika manja.
  • Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:
  • U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:

Značajne tačke trougla[uredi | uredi izvor]

Centar opisane kružnice trougla nalazi se u presjeku simetrala stranica trougla a poluprečnik je
Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.
Centar upisane kružnice trougla nalazi se u presjeku simetrala uglova trougla a poluprečnik je
Težište trougla T nalazi se u presjeku težišnih duži trougla
Ortocentar trougla H nalazi se u presjeku pravih kojima pripadaju visine trougla

Sličnost trougla[uredi | uredi izvor]

Dva trougla su slična ako imaju dva ugla jednaka.
Dva trougla su slična ako su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.
;  :
Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična
; <
Ako se stranice dva slična trougla odnose kao : tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu :, a površine se odnose kao :.
Ako je dužina hipotenuze onda primjena sličnosti na pravougli trougao imamo

Trougao u kompleksnoj ravni[uredi | uredi izvor]

Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.

Trouglovi i su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je

Dokaz

onda i samo onda ako je

i

Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa

Ovaj uslov je ekvivalentan sa uslovom

Lako je provjeriti da za trouglove , , i ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi slijedeći stav.

Ako su tjemena trougla određena su kompleksnim brojevima respektivno, tada su slijedeća tvrđenja ekvivalentna:

  1. je jednakostraničan trougao
  2. gdje je
  3. (z_1+ \epsilon z_2+ \epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+ \epsilon z_3)=0 za

Ako su tjemena pozitivno orjentisanog trougla sljedeća tvrđenja su ekvivalentna

  1. je jednakostraničan trougao
  2. za
  3. za
  4. [1]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]


Nedovršeni članak Trougao koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Primene kompleksnih brojeva u geometriji/Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.