Relacija (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Neka je zadan skup , onda je

Posmatrajmo parove gdje je prva koordinata manja od druge.

Skup {(1,2), (1,3),(2,3) } je relacija između elementa skupa A (relacija predstavlja vezu među veličinama).

Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A manji je od (veći je od) elementa y iz B. Ovo je relacija biti manji od (biti veći od). Relaciju biti veći od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }. Neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Binarna relacija između dva skupa i je podskup kartezijevog proizvoda

Važnije binarne relacije[uredi | uredi izvor]

Refleksivna relacija[uredi | uredi izvor]

Za relaciju kažemo da je refleksivna (povratna) onda i samo onda ako je za tj ako R sadrži dijagonalu

Antirefleksivnost[uredi | uredi izvor]

Simetrična relacija[uredi | uredi izvor]

Za relaciju kažemo da je simetrična ako ima osobinu Ako je onda je i tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali

Tranzitivne relacije[uredi | uredi izvor]

Za relaciju kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu Ako je onda je tj

Antisimetrična relacija[uredi | uredi izvor]

Za relaciju kažemo da je antisimetrična ako i samo ako ima osobinu ako je onda je tj

Zakon trihitomije[uredi | uredi izvor]

Za binarnu relaciju zadanu na skupu kažemo da zadovoljava zakon trihotomije ako i samo ako vrijedi

Relacija ekvivalencije[uredi | uredi izvor]

Relacija ekvivalencije je relacija koja je:

  1. Refleksivna
  2. Simetrična
  3. Tranzitivna

Primjer biti paralelan

po definiciji za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.

Ako je relacija ekvivalencije na skupu i iz onda skup svih elemenata iz za koje vrijedi zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa u odnosu na relaciju i označavamo sa tj

Teorema

Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu određuje rastavljanje skupa na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije. Svako disjunkno rastavljanje skupa određuje u relaciju ekvivalencije.

Ako je relacija ekvivalencije u skupu onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata sobzirom na relaciju označavamo sa i nazivamo kvocijentni skup skupa modulo .

Neka je data ravan , prava i tačke u toj ravni. Tačke ne leže na pravoj . Prava siječe duž ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži .

Uređajna relacija[uredi | uredi izvor]

Relacija zove se relacija parcijalnog uređenja skupa , a skup parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju ako je ona

  • refleksivna
  • tranzitivna
  • antisimetrična

Relacija je relacija strogog poretka (striktnog uređenja) ako je:

  • antirefleksivna
  • antisimetrična
  • tranzitivna

Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva zove se linearno (potpuno) uređen skup.

Relacija je linearno uređena relacija

& onda je

ako je & onda je i

U elementarnoj matematici postoje tri osnovne relacije uređenje(poretka):

  1. (Primjer: "2 je manje od 3")
  2. (Primjer: "3 ije jednako 3")
  3. (Primjer: "3 ije veće od 2")

za .

Dva realna broja su određena tačno jednom relacijom uređenja

  • , ako je ili (Primjer: )
  • , ako je ili (Primjer: )
  • , ako je ili (Primjer: )

za .

Za binarnu relaciju definisanu na skupu S podskup od AxA kažemo da je strogo linearno urđena ako za nju vrijedi zakon tranzitivnosti.

Neka je uređajna relacija u skupu S (ne nužno) uređajna je ako su a, b, c elementi iz S ili ako je &

Neka je uređajna relacija u skupu ako su elementi iz i vrijedi kažemo da je predhodnik elementa , a ako vrijedi onda je sljedbenik elementa s obzirom na relaciju .

Neka je uređajna relacija u i neka je podskup od onda ako u postoji takav element da za svako iz vrijedi onda nazivamo minoranta donja granica skupa .

Analogno ako postoji iz da za svako iz vrijedi a . onda nazivamo majoranta gornja granica skupa .

Nekaj je uređajna relacija skupa i ako je podskup od skup svih mjoranata skupa označimo ga sa , a skup svih majoranata skupa označimo sa . Ako postoji zovemo ga infinum od A (oznaka ), a ako postoji zovemo supremum oznaka .

Inverzna relacija[uredi | uredi izvor]

Inverzna relacija definisana na relaciji je

Primjer 1

Inverzni odnos odnos "suprug od" o odnosu "njegova supruga."

Primjer

Inverzni odnos odnosa "manje od" je "veće od".

Primjeri relacija[uredi | uredi izvor]

Izvor[uredi | uredi izvor]

Skupovi, relacije, funkcije

Linkovi[uredi | uredi izvor]

  1. Relation – Mathe für Nicht-Freaks
  2. Binäre Relation – Mathe für Nicht-Freaks



E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Relacija (matematika) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.