Relacija (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Neka je zadan skup A={1,2,3}, onda je

A\times A={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Posmatrajmo parove gdje je prva koordinata manja od druge.

Skup {(1,2), (1,3),(2,3) } je relacija između elementa skupa A (relacija predstavlja vezu među veličinama).

Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A manji je od (veći je od) elementa y iz B. Ovo je relacija biti manji od (biti veći od). Relaciju biti veći od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }. Neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Binarna relacija R između dva skupa A i B je podskup kartezijevog proizvoda


 A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}\colon 
    R \sube A \times B.

Važnije binarne relacije[uredi | uredi izvor]

Refleksivna relacija[uredi | uredi izvor]

Za relaciju R\subset A\times A kažemo da je refleksivna (povratna) onda i samo onda ako je a\ R\ a za a \in A tj ako R sadrži dijagonalu D(A^2)

(\forall a)(a \in A)  a \ R\ a

Antirefleksivnost[uredi | uredi izvor]

(\forall a \in A) (a,\ a) \notin A

Simetrična relacija[uredi | uredi izvor]

Za relaciju R\subset A \times A kažemo da je simetrična ako ima osobinu Ako je a\ R\ b onda je i b\ R\ a tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali D(A^2)

(\forall a,b) (a,b \in A) \; a\ R\ b \Rightarrow b\ R\ a

Tranzitivne relacije[uredi | uredi izvor]

Za relaciju R\subset A\times A kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu Ako je a\ R\ b \land b\ R \ c onda je a\ R \ c tj

(\forall a,\ b,\ c)(a,\ b,\ c \in \ A)\; a\ R \ b \land b\ R \ c \Rightarrow a \ R \ c

Antisimetrična relacija[uredi | uredi izvor]

Za relaciju R\subset A\times A kažemo da je antisimetrična ako i samo ako ima osobinu ako je a\ R \ b \land b\ R \ a onda je a=b tj

(\forall a,\ b) (a,\ b \in A)\; a\ R\ b \land b\ R\ a \Rightarrow a=b\,

Zakon trihitomije[uredi | uredi izvor]

Za binarnu relaciju R zadanu na skupu S kažemo da zadovoljava zakon trihotomije ako i samo ako vrijedi

a<b,\ b<a \lor a=b

Relacija ekvivalencije[uredi | uredi izvor]

Relacija ekvivalencije je relacija koja je:

  1. Refleksivna
  2. Simetrična
  3. Tranzitivna

Primjer biti paralelan

a\parallel a po definiciji za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.

a \parallel\ b =>\ b\parallel\ a

a\parallel \ b \land \ b\parallel\ c => \ a\parallel \ c

Ako je R relacija ekvivalencije na skupu A i a iz A onda skup svih elemenata x iz A za koje vrijedi x\ R\ a zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa a u odnosu na relaciju R i označavamo sa C_a tj

Teorema

Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu R određuje rastavljanje skupa A na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije. Svako disjunkno rastavljanje skupa A određuje u A relaciju ekvivalencije.

Ako je R relacija ekvivalencije u skupu A onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata sobzirom na relaciju R označavamo sa A/R i nazivamo kvocijentni skup skupa A modulo R.

Neka je data ravan \alpha, prava a i tačke A,\ B,\ C u toj ravni. Tačke A,\ B,\ C ne leže na pravoj a. Prava a siječe duž AB ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži AB.

Uređajna relacija[uredi | uredi izvor]

Relacija R\subset A\times A zove se relacija parcijalnog uređenja skupa S, a skup S parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju R ako je ona

  • refleksivna
  • tranzitivna
  • antisimetrična

Relacija je relacija strogog poretka (striktnog uređenja) ako je:

  • antirefleksivna
  • antisimetrična
  • tranzitivna

Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva zove se linearno (potpuno) uređen skup.

Relacija  \leq je linearno uređena relacija

 a\leq a

 a\leq  b & b \leq a onda je a=b

ako je  a\leq b &  b\leq c onda je i  a\leq c

U elementarnoj matematici postoje tri osnovne relacije uređenje(poretka):

  1. x < y (Primjer: 2 < 3 "2 je manje od 3")
  2. x = y (Primjer: 3 = 3 "3 ije jednako 3")
  3. x > y (Primjer: 3 > 2 "3 ije veće od 2")

za x, y \in \R.

Dva realna broja su određena tačno jednom relacijom uređenja

  •  x \leq y, ako je x < y ili x = y (Primjer:  4 \leq 5)
  •  x \geq y, ako je x > y ili x = y (Primjer:  5 \geq 5)
  •  x \neq y, ako je x < y ili x > y (Primjer:  4 \neq 5)

za  x, y \in \R.

Za binarnu relaciju R definisanu na skupu S podskup od AxA kažemo da je strogo linearno urđena ako za nju vrijedi zakon tranzitivnosti.

Neka je \leq uređajna relacija u skupu S (ne nužno) uređajna je ako su a, b, c elementi iz S ili ako je  a\leq  b &  b\leq  a

Neka je  \leq uređajna relacija u skupu S ako su a,\ b elementi iz S i vrijedi  a\leq  b kažemo da je a predhodnik elementa b, a ako vrijedi  b\leq a onda je b sljedbenik elementa a s obzirom na relaciju  \leq .

Neka je  \leq uređajna relacija u S i neka je A podskup od S onda ako u S postoji takav element m da za svako a iz A vrijedi  m\leq a onda m nazivamo minoranta donja granica skupa A.

Analogno ako postoji M iz A da za svako a iz A vrijedi a  a\leq M. onda M nazivamo majoranta gornja granica skupa A.

Nekaj je  \leq uređajna relacija skupa S i ako je A podskup od S skup svih mjoranata skupa A označimo ga sa P, a skup svih majoranata skupa A označimo sa Q. Ako postoji max \ P zovemo ga infinum od A (oznaka inf\ A), a ako postoji min\ Q zovemo supremum oznaka sup\ Q.

Inverzna relacija[uredi | uredi izvor]

Inverzna relacija definisana na relaciji R \subseteq A \times B je

R^{-1} = \{(b,a) \in B \times A \mid (a,b) \in R\}.
Primjer 1

Inverzni odnos odnos "suprug od" o odnosu "njegova supruga."

Primjer

Inverzni odnos odnosa "manje od" je "veće od".

Primjeri relacija[uredi | uredi izvor]

Izvor[uredi | uredi izvor]

Skupovi, relacije, funkcije

Linkovi[uredi | uredi izvor]

  1. Relation – Mathe für Nicht-Freaks
  2. Binäre Relation – Mathe für Nicht-Freaks



E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Relacija (matematika) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.