Robinov granični uslov

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, Robinov granični uslov (Granični uslov treće vrste) je vrsta graničnog uslova, koji je dobio naziv po Victoru Gustaveu Robinu (1855.-1897.), koji je predavao matematičku fiziku u Sorbonneu u Parizu, te je radio u područjima termodinamike.[1] Kada se nametne običnoj|ordinary ili parcijalnoj diferencijalnoj jednačini, to je specifikacija linearne kombinacije vrijednosti funkcije i vrijednosti njene derivacije na granicama domena. Robin bi se trebao izgovarati kao francusko ime, iako neki engleski matematičari angliciraju tu riječ.

Robinovi granični uslovi nazivaju se i impedancni granični uslovi, zbog njihove primjene u rješavanju elektromagnetnih problema.

Ako je \Omega\, domen na kojem se zadata jednačina rješava, a \partial \Omega označava njenu granica (topologija)granicu, Robinov granični uslov je

a u + b \frac{\partial u}{\partial n} =g on \partial \Omega\,

za neke konstante a\, i b\, različite od nule, i za datu funkciju g\, definisanu na \partial \Omega. Ovdje, u\, je nepoznato rješenje definisano na \Omega,\,, a \partial u/\partial n označava derivaciju normal na granicama. Općenitije, a\, i b\, mogu biti (zadate) funkcije, umjesto da budu konstante.

U jednoj dimenziji, ako je, na primjer, \Omega=[0, 1],\, Robinov granični uslov postaju uslovi

a u(0) - bu'(0) =g(0)\,
a u(1) + bu'(1) =g(1).\,

(primijetite promjenu znaka ispred člana koji sadrži derivaciju. to je zbog toga što je normala na [0, 1] u 0 usmjerena u negativnom smijeru, dok je u 1 usmjerena pozitivnom smijeru).

Robinovi granični uslovi se najčešće koriste za rješavanje Sturm-Liouvilleovih problema koji se pojavljuju u mnogim kontekstima u nauci i inženjerstvu.

Dodatno, Robinov granični uslov je opća forma izolativnog graničnog uslova za konvekacijko-difuzione jednačine. Ovdje, suma konvekacijskih i difuzionih protoka jednaka je nuli:

-D \frac{\partial c(0)}{\partial x}+ u_x(0)\,c(0)=0\,

gdje je D difuziona konstanta, u je konvekacijska brzina u granici i c je koncentracija. Prvi član je rezultat Fickovog zakona difuzije.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Gustafson, K., (1998). Domain Decomposition, Operator Trigonometry, Robin Condition, Contemporary Mathematics, 218. 432-437.
  • Gustafson, K. and T. Abe, (1998a). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, 47-53.
  • Gustafson, K. and T. Abe, (1998b). The third boundary condition - was it Robin's?, The Mathematical Intelligencer, 20, 63-71.
  • Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004). Applied mathematics, body and soul, Berlin; New York: Springer ISBN 3540008896.
  • Atkinson, Kendall E.; Han, Weimin (2001). Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework, New York: Springer ISBN 0387951423.
  • Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Computational differential equations, Cambridge; New York: Cambridge University Press ISBN 0521567386.
  • Mei, Zhen (2000). Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations, Berlin; New York: Springer ISBN 3540672966.