Rocheova granica

Minimalna udaljenost od centra planete na kojoj satelit u tečnom stanju (ili satelit koji se sastoji od labave nakupine krhotina) može ostati u jednom komadu bez toga da bude rastrgan plimnim silama. Na ovoj se udaljenosti privlačne gravitacione sile između malih tijela izjednačavaju s plimnim silama planete koje teže rastezanju tijela. Ako su planeta i njen satelit iste gustine, Rocheova granica iznosi 2.456 poluprečnika planete. Stapanje manjih tijela u planetarne satelite je nemoguće unutar Rocheove granice. Već formirana tijela ipak mogu opstati zbog drugih vezivnih sila u materijalu, pored gravitacionih.

Izračunavanje Rocheove granice

Rigidni satelit:

$d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.260R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$$d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.260R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

gdje je $R$$R$ poluprečnik planete, $\rho _{M}$$\rho _{M}$ je gustina planete, dok je $\rho _{m}$$\rho _{m}$ gustina satelita.

Tečni satelit:

$d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$$d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

Deriviranje formule za Rocheovu granicu

$F_{G}={\frac {Gmu}{r^{2}}}$$F_{G}={\frac {Gmu}{r^{2}}}$

Plimna sila $F_{P}$$F_{P}$ na masu $u$$u$ prema planeti ili primarnom tijelu s poluprečnikom $R$$R$ i udaljenošću $d$$d$ između centara dva tijela može se napisati sljedećom jednačinom :

$F_{P}={\frac {2GMur}{d^{3}}}$$F_{P}={\frac {2GMur}{d^{3}}}$

Rocheova granica je dostignuta kada je gravitaciona sila jednaka plimnoj:

$F_{G}=F_{P}$$F_{G}=F_{P}$

ili

${\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}$${\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}$

Iz koje se brzo dobija Rocheova granica, d kao:

$d=r\left(2M/m\right)^{\frac {1}{3}}$$d=r\left(2M/m\right)^{\frac {1}{3}}$

Pošto poluprečnik satelita nije potreban u formuli, ovo se može izraziti koristeći specifične gustoće dva dijela:

Za okruglu masu $M$$M$ može se napisati

$M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}$$M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}$ gdje $R$$R$ poluprečnik planete ili osnovnog tijela

Također:

$m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}$$m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}$ gdje $r$$r$ poluprečnik satelita

$d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}$$d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}$

podjednostavljeno:

$d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$$d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

Primjer

Osnova	Gustoća (kg/m3)	Poluprečnik (m)
Sunce	1,400	695,000,000
Jupiter	1,330	71,500,000
Zemlja	5,515	6,376,500
Mjesec	3,340	1,737,400

Tijelo	Satelit	Rocheova granica (krutina)		Rocheova granica (tečnost)
		Udaljenost (m)	Poluprečnik	Udaljenost (m)	Poluprečnik
Zemlja	Mjesec	9,495,665	1.49	18,261,459	2.86
Zemlja	Kometa	17,883,432	2.80	34,392,279	5.39
Sunce	Zemlja	554,441,389	0.80	1,066,266,402	1.53
Sunce	Jupiter	890,745,427	1.28	1,713,024,931	2.46
Sunce	Mjesec	655,322,872	0.94	1,260,275,253	1.81
Sunce	Kometa	1,234,186,562	1.78	2,373,509,071	3.42

Također pogledajte

• Crna rupa
• Triton (mjesec)

Vanjski linkovi

• Detaljno deriviranje formule za izračunavanje Rocheove granice