Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar .
a
→
⋅
b
→
=
b
→
⋅
a
→
=
|
a
→
|
|
b
→
|
cos
ϕ
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos \phi }
[ 1] Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1 . Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90° ) jednak je 0 , jer je kosinus pravog ugla 0 .
Skalarni proizvod je komutativan , distributivan i linearan .
Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a 1 , a 2 , … , a n b = [b 1 , b 2 , … , b n
a
⋅
b
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}
gdje Σ označava sabiranje po komponentama. Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1] :
[
1
3
−
5
]
⋅
[
4
−
2
−
1
]
=
(
1
)
(
4
)
+
(
3
)
(
−
2
)
+
(
−
5
)
(
−
1
)
=
3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix}}=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.}
Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao
a
⋅
b
=
∑
b
i
¯
a
i
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {{\overline {b_{i}}}a_{i}}}
gdje je
b
i
¯
{\displaystyle {\overline {b_{i}}}}
konjugovano kompleksan broj od
b
i
{\displaystyle b_{i}}
a
⋅
b
=
b
⋅
a
¯
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}}
Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora . Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod .
S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.
a
⋅
b
=
|
a
|
|
b
|
cos
θ
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,}
⟹
{\displaystyle \Longrightarrow }
θ
=
arccos
(
a
⋅
b
|
a
|
|
b
|
)
.
{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\right).}
Razmotrimo vektor
v
=
v
1
i
+
v
2
j
+
v
3
k
.
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} .\,}
Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v
v
2
=
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
.
{\displaystyle v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}.\,}
Dobijeno je isto kao i
v
⋅
v
=
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
,
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2},\,}
tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.
Lema 1
v
⋅
v
=
v
2
.
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v^{2}.\,}
Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao
c
=
d
e
f
a
−
b
.
{\displaystyle \mathbf {c} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {a} -\mathbf {b} .\,}
tvoreći trougao sa stranicama a , b i c . Prema kosinusnom teoremu , imamo da je
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\,}
Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo
c
⋅
c
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,}
(1) Ali pošto je c ≡ a − b , također imamo da je
c
⋅
c
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\,}
što je, prema pravilu distributivnosti , prošireno na
c
⋅
c
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
(
a
⋅
b
)
.
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).\,}
(2) Izjednačavanjem dvije c • c jednačine, (1) i (2) , dobijamo
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
(
a
⋅
b
)
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,}
Oduzimanjem a • a + b • b sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam
a
⋅
b
=
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \theta .\,}
Q.E.D.
Kako je
c
=
a
−
b
{\displaystyle c=a-b}
c
⋅
c
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )}
=
a
⋅
a
−
a
⋅
b
−
b
⋅
a
+
b
⋅
b
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
=
{\displaystyle =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{2}+\mathbf {b} ^{2}-2ab=}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
θ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta }
a
×
(
b
×
c
)
=
b
(
a
⋅
c
)
−
c
(
a
⋅
b
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),}
Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektor[ 2]
a
→
b
0
→
=∣
a
→
∣
c
o
s
ω
=
a
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a_{b}}}}
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}}
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}}}
a
→
b
0
→
=∣
a
→
∣
c
o
s
ω
=
b
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b_{a}}}}
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}}}
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}}
(
a
→
b
0
→
)
∗
b
0
→
=
a
b
b
0
→
{\displaystyle ({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}})*{\overrightarrow {b_{0}}}=a_{b}{\overrightarrow {b_{0}}}}
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}}
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}}}
(
a
0
→
b
→
)
∗
a
0
→
=
b
a
a
0
→
{\displaystyle ({\overrightarrow {a_{0}}}{\overrightarrow {b}})*{\overrightarrow {a_{0}}}=b_{a}{\overrightarrow {a_{0}}}}
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}}}
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}}
a
→
⋅
b
→
=
0
⇒
a
→
⊥
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}}
[ 3]
a
→
a
→
=∣
a
→
∣∣
a
→
∣
cos
0
=∣
a
→
∣
2
=>∣
a
→
∣
a
→
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}}
a
→
⊥
b
→
=>
a
→
b
→
=
0
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0}
a
→
b
→
=
0
=>
a
→
⊥
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}}
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {0}}}
c
o
s
ω
=
a
→
b
→
∣
a
→
∣∣
a
→
∣
{\displaystyle cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}}
0
<
ω
<
π
{\displaystyle 0<\omega <\pi }
a
→
a
→
≥
0
a
→
a
→
=
0
<=>
a
→
=
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}\geq 0\ {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=0<=>{\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {0}}}
[ 4]
λ
(
a
→
b
→
)
=
(
λ
a
→
)
b
→
)
=
a
→
(
λ
b
→
)
{\displaystyle \lambda ({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}})=(\lambda {\overrightarrow {a}}){\overrightarrow {b}})={\overrightarrow {a}}(\lambda {\overrightarrow {b}})}
a
→
(
b
→
+
c
→
)
=
a
→
b
→
+
a
→
c
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}({\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})={\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {c}}}
