Skalarni proizvod

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Scalarproduct.gif

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

[1]

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

Definicija i primjer[uredi | uredi izvor]

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a1, a2, … , an] i vektora b = [b1, b2, … , bn] :

  • gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao

gdje je

konjugovano kompleksan broj od ; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

Geometrijska interpretacija[uredi | uredi izvor]

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

Dokaz geometrijske intepretacije[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo vektor

Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v

Dobijeno je isto kao i

tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

Lema 1

Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao

tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je

Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo

                  (1)

Ali pošto je cab, također imamo da je

,

što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na

                    (2)

Izjednačavanjem dvije cc jednačine, (1) i (2), dobijamo

Oduzimanjem aa + bb sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam

Q.E.D.

Dokaz kosinusne teoreme[uredi | uredi izvor]

Dot product cosine rule.svg

Kako je imamo:

Trostruki proizvod[uredi | uredi izvor]

Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Projekcija vektora na vektor[uredi | uredi izvor]

Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektor[2] tj.

  • skalarna projekcija vektora na vektor
  • skalarna projekcija vektora na vektor
  • vektorska projekcija vektora na vektor
  • vektorska projekcija vektora na vektor

Posljedice skalarnog množenja[uredi | uredi izvor]

  • [3]
  • ili je bar jedan od vektora
  • ()

Osobine skalarnog proizvoda[uredi | uredi izvor]

  • [4]

Izvori[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Definicija
  2. ^ projekcija vektora na vektor
  3. ^ skalami proizvod a b= 0
  4. ^ "Osobine" (PDF). Arhivirano s originala (PDF), 12. 5. 2015. Pristupljeno 22. 5. 2016.