Spisak graničnih vrijednosti

Ovaj članak je tabela graničnih vrijednosti za neke uobičajne funkcije. Uočite da su a i b konstante po x.

Granične vrijednosti općih funkcija

${\mbox{Ako je}}\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}{\mbox{ i }}\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}{\mbox{ , tada je:}}$

$\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}$

$\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}$

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\mbox{ ako je }}L_{2}\neq 0$

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L_{1}^{n}\qquad {\mbox{ ako je }}n{\mbox{ pozitivan cijeli broj }}$

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L_{1}^{1 \over n}\qquad {\mbox{ ako je }}n{\mbox{ je pozivitvan cijeli broj i ako je }}n{\mbox{ paran, tada je }}L_{1}>0$

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\qquad {\mbox{ ako je }}\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\mbox{ ili }}\lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty$ (L'Hôpitalovo pravilo)

Jednostavne funkcije

$\lim _{x\to c}a=a$

$\lim _{x\to c}x=c$

$\lim _{x\to c}ax+b=ac+b$

$\lim _{x\to c}x^{r}=c^{r}\qquad {\mbox{ ako je }}r{\mbox{ pozitivan cijeli broj }}$

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=\left\{{\begin{matrix}-\infty ,&{\mbox{ako je }}r{\mbox{ neparan}}\\+\infty ,&{\mbox{ako je }}r{\mbox{ paran}}\end{matrix}}\right.$

Logaritamske i eksponencijalne funkcije

${\mbox{Za }}a>1:\,$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty$

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

$\lim _{x\to \infty }a^{x}=\infty$

Trigonometrijske funkcije

$\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$

$\lim _{x\to a}\cos x=\cos a$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$

$\lim _{x\to n^{\pm }}\tan(\pi x+{\frac {\pi }{2}})=\mp \infty \qquad {\mbox{ za svaki cijeli broj }}n$

Blizu beskonačnosti

$\lim _{x\to \infty }N/x=0{\mbox{ za svaki realan N}}$

$\lim _{x\to \infty }x/N={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\mbox{ne postoji}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&N<1\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0{\mbox{ za svaki }}N>1$

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\\0,&N=0\\{\mbox{ne postoji}},&N<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty {\mbox{ za svaki }}N>0$

$\lim _{x\to \infty }\log x=\infty$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$

Također pogledajte

• Granična vrijednost
• Granična vrijednost funkcije