Srebrni rez

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
(Preusmjereno sa Srebreni rez)
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Spisak brojeva - Iracionalni brojevi
ζ(3) - √2 - φ - √3 - √5 - \delta_S - α - e - π - δ
Binarni 10.0110101000001001111...
Decimalni 2,4142135623730950488...
Heksadecimalni 2.6A09E667F3BCC908B2F...
Neprekidni razlomak 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\ddots}}}}

Srebreni rez je matematička konstanta. Njegov naziv je aluzija zlatnom rezu; analogno, kako je zlatni rez granični omjer susjednih Fibonaccijevih brojeva, srebreni rez je granični omjer susjednih Pellovih brojeva. Naziv srebreni broj se, također, ponekad koristi kada se misli na plastični broj, granični omjer susjednih Perrinovih brojeva, te od Padovanovog niza.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Definicija kada je 1 plus kvadratni korijen od 2[uredi | uredi izvor]

Srebreni rez (\delta_S) je definisan kao iracionalan broj koji nastaje sumom broja 1 i kvadratnog korijena od 2.To jest:

\delta_S = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414\, 213\, 562\, 373\, 095\, 048\, 801\, 688\, 724\, 210

Iz ove definicije slijedi da je

(\delta_S-1)^2=2\, .

Osobine[uredi | uredi izvor]

Stepeni srebrenog reza[uredi | uredi izvor]

Niži stepeni srebrenog reza su:

 \!\ \delta_S^0 = 1
 \delta_S^1 = \delta_S + 0
 \delta_S^2 = 2\delta_S + 1
 \delta_S^3 = 5\delta_S + 2
 \delta_S^4 = 12\delta_S + 5

Stepeni se nastavljaju dalje po obrascu:

 \!\ \delta_S^n = K_n\delta_S + K_{(n-1)}

gdje je

 \!\ K_n = 2 K_{(n-1)} + K_{(n-2)}

Na primjer, koristeći ovu osobinu:

 \!\ \delta_S^5 = 29\delta_S + 12

Koristeći  \!\ K_0 = 1 i  \!\ K_1 = 2 kao početne uslove, dobijamo formulu sličnu Binetovoj, koja slijedi iz ponavljajuće relacije

 \!\ K_n = 2 K_{(n-1)} + K_{(n-2)}

koja postaje

 \!\ K_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} {(\delta_S^{n+1} - {(2-\delta_S)}^{n+1})}

Trigonometrijske osobine[uredi | uredi izvor]

Pogledajte članak Tačne trigonometrijske konstante

Srebreni rez je direktno povezan sa nekoliko trigonometrijskih omjera:

\textstyle \sin \frac {\pi}{8} = \sin 22.5^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt 2}
\textstyle \cos \frac {\pi}{8} = \cos 22.5^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}
\textstyle \tan \frac {\pi}{8} = \tan 22.5^\circ = \sqrt{2}-1
\textstyle \cot \frac {\pi}{8} = \cot 22.5^\circ = \sqrt{2}+1

Dalje, jedna od formula za površinu pravilnog oktagona sa stranicom dužine a je data sa

A = \textstyle 2a^2 \cot \frac{\pi}{8} = 2(1+\sqrt{2})a^2 \simeq 4.828427 a^2.

Reference[uredi | uredi izvor]

Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]