Tablični integrali

Dio serije članaka o
Infinitezimalnom računu
Fundamentalna teorema Leibnizovo integracijsko pravilo Granična vrijednost funkcije Neprekidnost Teorema srednje vrijednosti Rolleova teorema
Diferencijal Definicije Izvod (generalizacije) Derivacija infinitezimalno funkcija potpuna Koncepti Notacija derivacije Drugi izvod Treći izvod Smjena varijabli Implicitna derivacija Povezane stope Taylorova teorema Pravila i identiteti Zbir Proizvod Složena funkcija Potencijal Količnik Inverzna funckija Opći Leibniz Faà di Brunoova formula
Integral Tablični integrali Integralna transformacija Definicije Primitivna funkcija Integral (nepravilni) Riemannov integral Lebesgueova integracija Konturna integracija Integral inverznih funkcija Integracija po Dijelovima Diskovima Cilindričnim ljuskama Smjenama (trigonometrijska, Weierstrassova, Eulerova) Eulerovoj formuli Parcijalnim funkcijama Promjenjivom poretku Redukcijskim formulama Diferencijacija pod integralnim znakom
Redovi Geometrijski (aritmetičko-geometrijski) Harmonijski Alternativni Potencijalni Binomni Taylorov Testovi konvergencije Test općeg člana D'Alambertov test Korjeni test Integralni test Test poređenja Poređenje limesa Test za alternativne redove Cauchyjeva kondenzacija Dirichlet Abel
Vektor Gradijent Divergencija Rotor Laplaceov operator Usmjereni izvod Identiteti Teoreme Gradijent Green Kelvin–Stokesova Divergencija generalizirana Stokesova
Više promjenjivih Formalizmi Matrice Tenzori Vanjski izvod Geometrijski infinitezimalni račun Definicije Parcijalni izvod Višestruki integral Linijski integral Površinski integral Zapreminski integral Jacobi Hesse
Specijalizirano Razlomački infinitezimalni račun Malliavin Stohastički infinitezimalni račun Varijacijski infinitezimalni račun
Rječnik infinitezimalnog računa Rječnik infinitezimalnog računa Spisak tema o infinitezimalnom računu

Tablični integrali predstavljaju grupu osnovnih integrala koji se rješavaju šablonski. Ovdje su dati neki od takvih integrala. Ovaj članak prikazuje spisak nekih najčešćih antiderivacija; kompletniju listu možete pronaći na članku spisak integrala.

Osnovna pravila integriranja

$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\qquad {\mbox{(}}a{\mbox{ constant)}}\,\!$

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left[f'(x)\left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$

$\int [f(x)]^{n}f'(x)\,dx={[f(x)]^{n+1} \over n+1}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C$

$\int {f'(x)f(x)}\,dx={1 \over 2}[f(x)]^{2}+C$

Integrali prostih funkcija

Racionalne funkcije

Više na: Spisak integrala racionalnih funkcija

$\int \,{\rm {d}}x=x+C$

$\int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1$

$\int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C$

Iracionalne funkcije

Više na: Spisak integrala iracionalnih funkcija

$\int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\sin ^{-1}{x \over a}+C$

$\int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\cos ^{-1}{x \over a}+C$

$\int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec ^{-1}{|x| \over a}+C$

Logaritmi

Više na: Spisak integrala logaritamskih funkcija

$\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

$\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C$

Eksponencijalne funkcije

Više na: Spisak integrala eksponencijalnih funkcija

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

Trigonometrijske funkcije

Više na: Spisak integrala trigonometrijskih funkcija i Spisak integrala arkusnih funkcija

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \tan ^{-1}{x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$

Hiperboličke funkcije

Više na: Spisak integrala hiperboličkih funkcija

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

Inverzne hiperboličke funkcije

$\int \sinh ^{-1}x\,dx=x\sinh ^{-1}x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \cosh ^{-1}x\,dx=x\cosh ^{-1}x+{\sqrt {x^{2}-1}}+C$

$\int \tanh ^{-1}x\,dx=x\tanh ^{-1}x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C$

$\int {\mbox{csch}}^{-1}\,x\,dx=x{\mbox{csch}}^{-1}\ x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C$

$\int {\mbox{sech}}^{-1}\,x\,dx=x{\mbox{sech}}^{-1}\ x-\tan ^{-1}{\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C$

$\int \coth ^{-1}x\,dx=x\coth ^{-1}x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C$

Određeni nepravi integrali

Postoje funkcije čiji se integrali ne mogu predstaviti u zatvorenom intervalu (integral [a,b]).

$\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (također pogledajte Gama funkcija)

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (Gausov integral)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (također pogledajte Bernulijev broj)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}}{\frac {\pi }{2}}$ (if n is an even integer and $\scriptstyle {n\geq 2}$)

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}}$ (if $\scriptstyle {n}$ is an odd integer and $\scriptstyle {n\geq 3}$)

$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$ (gdje je $\Gamma (z)$ gama funkcija)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$ (gdje je $\exp[u]$ eksponencijalna funkcija $e^{u}$.)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (gdje je $I_{0}(x)$ modificirana Beselova funkcija prve vrste)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

"Sofomorov san"

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}=\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx\quad \quad (=1.291285997\dots )$

$\sum _{n=1}^{\infty }-(-1)^{n}n^{-n}=\int _{0}^{1}x^{x}\,dx\quad \quad (=0.783430510712\dots )$

(Pogledajte Johann Bernoulli i sofomorov san).

Također pogledajte

• Tabela graničnih vrijednosti
• Spisak matematičkih redova