Tablični integrali

Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem Limesi funkcija Kontinuitet Teorem srednje vrijednosti Diferencijacija  Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Smjena varijabli Implicitna diferencijacija Taylorov teorem Povezane vrijednosti Identititeti Integracija  Spisak integrala Nepravi integrali Vrste integracija: parcijalna, disk, cilindrične ljuske, substitucija, trigonometrijska substitucija, parcijalni razlomci, mijenjanje reda Vektorski kalkulus  Gradijent Divergencija Rotor Laplasijan Teorem gradijenta Greenov teorem Stokesov teorem Teorem divergencije Kalkulus više promjenljivih  Matrični kalkulus Parcijalna derivacija Višestruki integral Linijski integral Površinski integral Zapreminski integral Jacobijan

Tablični integrali predstavljaju grupu osnovnih integrala koji se rješavaju šablonski. Ovdje su dati neki od takvih integrala. Ovaj članak prikazuje spisak nekih najčešćih antiderivacija; kompletniju listu možete pronaći na članku spisak integrala.

Osnovna pravila integriranja

$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\qquad {\mbox{(}}a{\mbox{ constant)}}\,\!$

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left[f'(x)\left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$

$\int [f(x)]^{n}f'(x)\,dx={[f(x)]^{n+1} \over n+1}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C$

$\int {f'(x)f(x)}\,dx={1 \over 2}[f(x)]^{2}+C$

Integrali prostih funkcija

Racionalne funkcije

Više na: Spisak integrala racionalnih funkcija

$\int \,{\rm {d}}x=x+C$

$\int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1$

$\int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C$

Iracionalne funkcije

Više na: Spisak integrala iracionalnih funkcija

$\int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\sin ^{-1}{x \over a}+C$

$\int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\cos ^{-1}{x \over a}+C$

$\int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec ^{-1}{|x| \over a}+C$

Logaritmi

Više na: Spisak integrala logaritamskih funkcija

$\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

$\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C$

Eksponencijalne funkcije

Više na: Spisak integrala eksponencijalnih funkcija

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

Trigonometrijske funkcije

Više na: Spisak integrala trigonometrijskih funkcija i Spisak integrala arkusnih funkcija

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \tan ^{-1}{x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$

Hiperboličke funkcije

Više na: Spisak integrala hiperboličkih funkcija

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

Inverzne hiperboličke funkcije

$\int \sinh ^{-1}x\,dx=x\sinh ^{-1}x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \cosh ^{-1}x\,dx=x\cosh ^{-1}x+{\sqrt {x^{2}-1}}+C$

$\int \tanh ^{-1}x\,dx=x\tanh ^{-1}x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C$

$\int {\mbox{csch}}^{-1}\,x\,dx=x{\mbox{csch}}^{-1}\ x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C$

$\int {\mbox{sech}}^{-1}\,x\,dx=x{\mbox{sech}}^{-1}\ x-\tan ^{-1}{\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C$

$\int \coth ^{-1}x\,dx=x\coth ^{-1}x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C$

Određeni nepravi integrali

Postoje funkcije čiji se integrali ne mogu predstaviti u zatvorenom intervalu (integral [a,b]).

$\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (također pogledajte Gama funkcija)

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (Gausov integral)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (također pogledajte Bernulijev broj)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}}{\frac {\pi }{2}}$ (if n is an even integer and $\scriptstyle {n\geq 2}$)

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}}$ (if $\scriptstyle {n}$ is an odd integer and $\scriptstyle {n\geq 3}$)

$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$ (gdje je $\Gamma (z)$ gama funkcija)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$ (gdje je $\exp[u]$ eksponencijalna funkcija $e^{u}$.)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (gdje je $I_{0}(x)$ modificirana Beselova funkcija prve vrste)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

"Sofomorov san"

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}=\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx\quad \quad (=1.291285997\dots )$

$\sum _{n=1}^{\infty }-(-1)^{n}n^{-n}=\int _{0}^{1}x^{x}\,dx\quad \quad (=0.783430510712\dots )$

(Pogledajte Johann Bernoulli i sofomorov san).

Također pogledajte

• Tabela graničnih vrijednosti
• Spisak matematičkih redova