Teorija haosa

Grafikon Lorenzovog atraktora za vrijednosti r = 28, σ = 10, b = 8/3

Animacija dvostrukog štapnog klatna pri srednjoj energiji koja pokazuje haotično ponašanje. Pokretanje klatna iz malo drugačijeg početnog uslova rezultiralo bi znatno drugačijom putanjom. Dvostruko štapno klatno je jedan od najjednostavnijih dinamičkih sistema sa haotičnim rješenjima.

Teorija haosa je interdisciplinarno područje naučnog proučavanja i grana matematike. Fokusira se na osnovne obrasce i determinističke zakone dinamičkih sistema koji su veoma osjetljivi na početne uslove. Nekada se smatralo da imaju potpuno nasumična stanja nereda i nepravilnosti. Teorija haosa tvrdi da unutar prividne slučajnosti haotičnih kompleksnih sistema postoje osnovni obrasci, međusobna povezanost, konstantne povratne sprege, ponavljanje, samosličnost, fraktali i samoorganizacija. Efekat leptira, osnovni princip haosa, opisuje kako mala promjena u jednom stanju determinističkog nelinearnog sistema može rezultirati velikim razlikama u kasnijem stanju (što znači da postoji osjetljiva zavisnost od početnih uslova). Metafora za ovo ponašanje je da leptir koji maše krilima u Brazilu može uzrokovati ili spriječiti tornado u Teksasu.

Male razlike u početnim uslovima, kao što su one uzrokovane greškama u mjerenjima ili greškama zaokruživanja u numeričkoj analizi, mogu dati veoma različite rezultate za takve dinamičke sisteme, što dugoročno predviđanje njihovog ponašanja generalno čini nemogućim. Ovo se može dogoditi čak i ako su ovi sistemi deterministički, što znači da njihovo buduće ponašanje prati jedinstvenu evoluciju i u potpunosti je određen njihovim početnim uslovima, bez uključenih elemenata slučajnosti. Drugim riječima, uprkos determinističkoj prirodi ovih sistema, to ih ne čini predvidljivim. Ovo ponašanje je poznato kao deterministički haos ili jednostavno haos. Teoriju je sažeo Edward Lorenz kao:

Haos: Kada sadašnjost određuje budućnost, ali približna sadašnjost ne određuje približno budućnost.

Haotično ponašanje postoji u mnogim prirodnim sistemima, uključujući protok fluida, nepravilnosti u otkucajima srca, vrijeme i klimu. Također se spontano javlja u nekim sistemima s umjetnim komponentama, kao što je drumski saobraćaj. Ovo ponašanje se može proučavati analizom haotičnog matematičkog modela ili analitičkim tehnikama kao što su rekurentni grafikoni i Poincaréove mape. Teorija haosa ima primjenu u raznim disciplinama, uključujući meteorologiju, antropologiju, sociologiju, nauku o okolišu, računarske nauke, inženjerstvo, ekonomiju, ekologiju i pandemiju upravljanje krizama. Teorija je formirala osnovu za područja istraživanja kao što su kompleksni dinamički sistemi, teorija ruba haosa i procesi samoorganizacija.

Uvod

Teorija haosa se bavi determinističkim sistemima čije se ponašanje, u principu, može predvidjeti. Haotični sistemi su predvidljivi neko vrijeme, a zatim 'izgledaju' kao da postaju slučajni. Količina vremena za koju se ponašanje haotičnog sistema može efikasno predvidjeti zavisi od tri stvari: koliko se neizvjesnosti može tolerisati u prognozi, koliko se tačno može izmjeriti njegovo trenutno stanje i vremenske skale koja zavisi od dinamike sistema, nazvane Ljapunovljevo vrijeme. Neki primjeri Ljapunovljevih vremena su: haotična električna kola, oko 1 milisekunda; vremenski sistemi, nekoliko dana (nedokazano); unutrašnji Sunčev sistem, 4 do 5 miliona godina. U haotičnim sistemima, neizvjesnost u prognozi se povećava eksponencijalno s proteklim vremenom. Dakle, matematički, udvostručenje vremena prognoze više od kvadrata proporcionalne neizvjesnosti u prognozi. To znači da se u praksi smisleno predviđanje ne može napraviti u intervalu većem od dva ili tri puta Ljapunovljevog vremena. Kada se smislena predviđanja ne mogu napraviti, sistem se čini nasumičnim.

Haotična dinamika

Mapa definirana sa x → 4 x (1 – x) i y → (x + y) mod 1 pokazuje osjetljivost na početne x pozicije. Ovdje se dva niza vrijednosti x i y značajno razlikuju tokom vremena od male početne razlike.

U uobičajenoj upotrebi, "haos" znači "stanje nereda". Međutim, u teoriji haosa, termin je preciznije definiran. Iako ne postoji univerzalno prihvaćena matematička definicija haosa, uobičajeno korištena definicija, koju je prvobitno formulisao Robert L. Devaney, kaže da da bi se dinamički sistem klasificirao kao haotičan, on mora imati ova svojstva:

1. mora biti osjetljivo na početne uslove,
2. mora biti topološki tranzitivno,
3. mora imati guste periodične orbite.

U nekim slučajevima, pokazano je da posljednja dva svojstva iznad zapravo impliciraju osjetljivost na početne uslove. U slučaju diskretnog vremena, ovo važi za sve kontinuirane preslikavanja na metričkim prostorima. U ovim slučajevima, iako je često najpraktičnije značajno svojstvo, "osjetljivost na početne uslove" ne mora biti navedena u definiciji.

Ako se pažnja ograniči na intervale, drugo svojstvo implicira druga dva. Alternativna i općenito slabija definicija haosa koristi samo prva dva svojstva na gornjoj listi.

Osjetljivost na početne uslove

Glavni članak: Efekat leptira

Lorenzove jednačine korištene su za generiranje grafikona za varijablu y. Početni uslovi za x i z su zadržani isti, ali su oni za y mijenjani između 1.001, 1.0001 i 1.00001. Vrijednosti za $\rho$, $\sigma$ i $\beta$ bile su 45.91, 16 i 4 respektivno. Kao što se može vidjeti iz grafikona, čak i najmanja razlika u početnim vrijednostima uzrokuje značajne promjene nakon otprilike 12 sekundi evolucije u tri slučaja. Ovo je primjer osjetljive zavisnosti od početnih uslova.

Osjetljivost na početne uslove znači da je svaka tačka u haotičnom sistemu proizvoljno blisko aproksimirana drugim tačkama koje imaju značajno različite buduće putanje ili trajektorije. Dakle, proizvoljno mala promjena ili poremećaj trenutne putanje može dovesti do značajno drugačijeg budućeg ponašanja.

Osjetljivost na početne uslove je popularno poznata kao "efekat leptira", tako nazvan zbog naslova rada koji je Edward Lorenz predstavio Američkom udruženju za unapređenje nauke u Washingtonu, D.C., pod naslovom "Predvidljivost: Da li mahanje krila leptira u Brazilu izaziva tornado u Teksasu?. Mahanje krila predstavlja malu promjenu u početnom stanju sistema, što uzrokuje lanac događaja koji sprječava predvidljivost fenomena velikih razmjera. Da leptir nije mahao krilima, putanja cijelog sistema mogla bi biti znatno drugačija.

Kao što je sugerirano u Lorenzovoj knjizi pod nazivom Suština haosa, objavljenoj 1993. godine, "osjetljiva zavisnost može poslužiti kao prihvatljiva definicija haosa". U istoj knjizi, Lorenz je definirao efekat leptira kao: "Fenomen da mala promjena u stanju dinamičkog sistema uzrokuje da se naredna stanja uveliko razlikuju od stanja koja bi uslijedila bez promjene." Gornja definicija je u skladu s osjetljivom zavisnošću rješenja od početnih uslova (SDIC). Razvijen je idealizirani model skijanja kako bi se ilustrirala osjetljivost vremenski promjenjivih putanja na početne pozicije. Horizont predvidljivosti može se odrediti prije početka SDIC-a (tj. prije značajnih razdvajanja početnih obližnjih putanja).

Posljedica osjetljivosti na početne uslove je da ako počnemo s ograničenom količinom informacija o sistemu (kao što je obično slučaj u praksi), onda nakon određenog vremena sistem više ne bi bio predvidljiv. Ovo je najprisutnije u slučaju vremena, koje je uglavnom predvidljivo samo oko sedmicu unaprijed. To ne znači da se ne može ništa tvrditi o događajima u dalekoj budućnosti - samo da postoje neka ograničenja sistema. Naprimjer, znamo da temperatura Zemljine površine prirodno neće dostići 100 °C niti pasti ispod -130 °C na Zemlji (tokom trenutne geološke ere), ali ne možemo tačno predvidjeti koji će dan imati najvišu temperaturu u godini.

U matematičkim terminima, Ljapunovljev eksponent mjeri osjetljivost na početne uslove, u obliku brzine eksponencijalnog odstupanja od poremećenih početnih uslova. Preciznije, ako su date dvije početne putanje u faznom prostoru koje su beskonačno blizu, s početnim razmakom $\delta \mathbf {Z} _{0}$, dvije putanje na kraju divergiraju brzinom datom izrazom

$|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,$

gdje je $t$ vrijeme, a $\lambda$ Ljapunovljev eksponent. Brzina razdvajanja zavisi od orijentacije početnog vektora razdvajanja, tako da može postojati cijeli spektar Ljapunovljevih eksponenata. Broj Ljapunovljevih eksponenata jednak je broju dimenzija faznog prostora, iako je uobičajeno da se koristi samo najveći. Na primjer, maksimalni Ljapunovljev eksponent (MLE) se najčešće koristi, jer određuje ukupnu predvidljivost sistema. Pozitivan MLE, zajedno s ograničenošću rješenja, obično se uzima kao indikacija da je sistem haotičan.

Pored gore navedenog svojstva, postoje i druga svojstva povezana s osjetljivošću početnih uvjeta. To uključuje, na primjer, teorijski mjere miješanje (kao što je razmatrano u ergodičkoj teoriji) i svojstva [[Kolmogorovljev automorfizam|K-sistema.

Neperiodičnost

Haotičan sistem može imati nizove vrijednosti za varijablu koja se razvija, koji se tačno ponavljaju, dajući periodično ponašanje počevši od bilo koje tačke u tom nizu. Međutim, takvi periodični nizovi se odbijaju, a ne privlače, što znači da ako se varijabla koja se razvija nalazi izvan niza, ma koliko blizu, neće ući u niz i, u stvari, će od njega odstupati. Dakle, za skoro sve početne uslove, varijabla evoluira haotično sa neperiodičnim ponašanjem.

Topološko miješanje

Šest iteracija skupa stanja $[x,y]$ prošlo je kroz logističku mapu. Prva iteracija (plava) je početni uslov, koji u suštini formira krug. Animacija prikazuje prvu do šestu iteraciju kružnih početnih uslova. Može se vidjeti da se "miješanje" dešava kako napredujemo u iteracijama. Šesta iteracija pokazuje da su tačke gotovo potpuno raspršene u faznom prostoru. Da smo dalje napredovali u iteracijama, miješanje bi bilo homogeno i nepovratno. Logistička mapa ima jednačinu $x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})$. Da bi se prostor stanja logističke mape proširio u dvije dimenzije, kreirano je drugo stanje, $y$, kao $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}$, ako je $x_{k}+y_{k}<1$ i $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1$ u suprotnom.

Mapa definirana sa x → 4 x (1 – x) i y → (x + y) mod 1 također prikazuje topološko miješanje. Ovdje se plava regija dinamikom transformiše prvo u ljubičastu regiju, zatim u ružičastu i crvenu regiju, i na kraju u oblak vertikalnih linija razasutih po prostoru.

Topološko miješanje (ili slabiji uslov topološke tranzitivnosti) znači da se sistem razvija tokom vremena tako da se bilo koja data regija ili otvoreni skup njenog faznog prostora na kraju preklapa sa bilo kojom drugom datom regijom. Ovaj matematički koncept "miješanja" odgovara standardnoj intuiciji, a miješanje boja ili fluida je primjer haotičnog sistema.

Topološko miješanje se često izostavlja iz popularnih opisa haosa, koji izjednačavaju haos samo sa osjetljivošću na početne uslove. Međutim, osjetljiva zavisnost od početnih uslova sama po sebi ne daje haos. Naprimjer, razmotrimo jednostavan dinamički sistem proizveden ponovljenim udvostručavanjem početne vrijednosti. Ovaj sistem ima osjetljivu zavisnost od početnih uslova svugdje, budući da bilo koji par bliskih tačaka na kraju postaje široko razdvojen. Međutim, ovaj primjer nema topološko miješanje, i stoga nema haos. Zaista, ima izuzetno jednostavno ponašanje: sve tačke osim 0 teže pozitivnoj ili negativnoj beskonačnosti.

Topološka tranzitivnost

Kaže se da je preslikavanje Parsiranje nije uspjelo (nepoznata funkcija "\u"): {\displaystyle f:X \u X} topološki tranzitivno ako za bilo koji par nepraznih otvorenih skupova Parsiranje nije uspjelo (nepoznata funkcija "\subsetX"): {\displaystyle U, V \subsetX} postoji $k>0$ takvo da $f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset$. Topološka tranzitivnost je slabija verzija topološkog miješanja. Intuitivno, ako je preslikavanje topološki tranzitivno, onda za datu tačku x i oblast V postoji tačka y blizu x čija orbita prolazi kroz V. To implicira da je nemoguće rastaviti sistem na dva otvorena skupa.

Važna povezana teorema je Birkhoffova teorema tranzitivnosti. Lahko je vidjeti da postojanje guste orbite implicira topološko tranzitivnost. Birkhoffova teorema tranzitivnosti kaže da ako je X prostor koji se može prebrojiti do druge tačke, kompletan metrički prostor, onda topološka tranzitivnost implicira postojanje gustog skupa tačaka u X koje imaju guste orbite.

Gustoća periodičnih orbita

Da bi haotičan sistem imao guste periodične orbite znači da se svakoj tački u prostoru približavaju periodične orbite proizvoljno blizu. Jednodimenzijska logistička mapa definirana sa x → 4 x (1 – x) je jedan od najjednostavnijih sistema s gustoćom periodičnih orbita. Naprimjer, ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ (ili približno 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) jest (nestabilna) orbita perioda 2, a slične orbite postoje za periode 4, 8, 16, itd. (zaista, za sve periode određene Sharkovskijevom teoremom).

Sharkovskijeva teorema je osnova Lijeve i Yorkeove teoreme (1975) dokaz da će svaki kontinuirani jednodimenzionalni sistem koji pokazuje regularni ciklus perioda tri također pokazivati regularne cikluse svake druge dužine, kao i potpuno haotične orbite.

Strani atraktori

Lorenzov atraktor pokazuje haotično ponašanje. Ova dva grafikona pokazuju osjetljivu zavisnost od početnih uslova unutar područja faznog prostora koje zauzima atraktor.

Neki dinamički sistemi, poput jednodimenzionalne logističke mape definirane sa x → 4 x (1 – x), su haotični svugdje, ali u mnogim slučajevima haotično ponašanje se nalazi samo u podskupu faznog prostora. Slučajevi od najvećeg interesa nastaju kada se haotično ponašanje odvija na atraktoru, budući da tada veliki skup početnih uslova dovodi do orbita koje konvergiraju prema ovom haotičnom području.

Jednostavan način za vizualizaciju haotičnog atraktora je početi s tačkom u bazenu privlačenja atraktora, a zatim jednostavno nacrtati njegovu naknadnu orbitu. Zbog uvjeta topološke tranzitivnosti, ovo će vjerovatno dati sliku cijelog konačnog atraktora, i zaista obje orbite prikazane na slici desno daju sliku općeg oblika Lorenzovog atraktora. Ovaj atraktor je rezultat jednostavnog trodimenzijskog modela Lorenz vremenskog sistema. Lorenzov atraktor je možda jedan od najpoznatijih dijagrama haotičnog sistema, vjerovatno zato što nije samo jedan od prvih, već je i jedan od najsloženijih, i kao takav daje vrlo zanimljiv uzorak koji, uz malo mašte, izgleda kao krila leptira.

Za razliku od atraktora fiksne tačke i graničnih ciklusa, atraktori koji nastaju iz haotičnih sistema, poznati kao strani atraktori, imaju velike detalje i složenost. Čudni atraktori se javljaju i u kontinuiranim dinamičkim sistemima (kao što je Lorenzov sistem) i u nekim diskretnim sistemima (kao što je Hénonova mapa). Drugi diskretni dinamički sistemi imaju strukturu odbijanja koja se naziva Julia skup, a koja se formira na granici između bazena privlačenja fiksnih tačaka. Julia skupovi se mogu smatrati čudnim repelentima. I strani atraktori i Julia skupovi obično imaju fraktalnu strukturu, a fraktalna dimenzija se može izračunati za njih.

Koegzistirajući atraktori

Koegzistirajući haotični i nekaotični atraktori unutar generaliziranog Lorenzovog modela. Postoji 128 orbita u različitim bojama, počevši s različitim početnim uvjetima za bezdimenzijsko vrijeme između 0,625 i 5 i parametrom zagrijavanja r = 680. Haotične orbite se ponavljajuće vraćaju blizu sedlaste tačke u ishodištu. Nehaotične orbite se na kraju približavaju jednoj od dvije stabilne kritične tačke, kao što je prikazano velikim plavim tačkama. Haotične i nehaotične orbite zauzimaju različite regije privlačenja unutar faznog prostora.

Za razliku od haotičnih rješenja jednog tipa, studije koje koriste Lorenzove modele naglasili su važnost razmatranja različitih tipova rješenja. Naprimjer, koegzistencija haotičnog i nehaotičnog može se pojaviti unutar istog modela (npr. sistem dvostrukog klatna) koristeći iste konfiguracije modeliranja, ali različite početne uslove. Nalazi o koegzistenciji atraktora, dobijeni iz klasičnih i generalizovanih Lorenzovih modela, predložili su revidirani stav da "cjelokupno vrijeme posjeduje dvojaku prirodu haosa i reda s izrazitom predvidljivošću", za razliku od konvencionalnog stava da je "vrijeme haotično".

Minimalna složenost haotičnog sistema

Dijagram bifurkacije logističke mape x → r x (1 – x). Svaki vertikalni presjek prikazuje atraktor za određenu vrijednost r. Dijagram prikazuje udvostručenje perioda kako se r povećava, što na kraju proizvodi haos. Tamnije tačke se češće posjećuju.

Diskretni haotični sistemi, kao što je logistička mapa, mogu pokazivati čudne atraktore bez obzira na njihovu dimenzionalnost. Nasuprot tome, za kontinuirane dinamičke sisteme, Poincaré-Bendixsonova teorema pokazuje da čudni atraktor može nastati samo u tri ili više dimenzija. Konačno-dimenzionalni linearni sistemi nikada nisu haotični; da bi dinamički sistem pokazao haotično ponašanje, mora biti ili nelinearan ili beskonačno-dimenzionalan.

Poincaré-Bendixsonova teorema tvrdi da dvodimenzijska diferencijalna jednačina ima vrlo regularno ponašanje. Lorenzov atraktor o kojem se govori u nastavku generira se sistemom od tri diferencijalne jednačine kao što su:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}$

gdje $x$, $y$ i $z$ čine stanje sistema, $t$ je vrijeme, a $\sigma$, $\rho$, $\beta$ su parametri sistema. Pet članova na desnoj strani su linearni, dok su dva kvadratna; ukupno sedam članova. Još jedan poznati haotični atraktor generira Rösslerove jednačine, koje imaju samo jedan nelinearni član od sedam. Sprott pronašau je trodimenzijski sistem sa samo pet članova, koji je imao samo jedan nelinearni član, što pokazuje haos za određene vrijednosti parametara. Zhang i Heidel pokazao je da, barem za disipativne i konzervativne kvadratne sisteme, trodimenzijski kvadratni sistemi sa samo tri ili četiri člana na desnoj strani ne mogu pokazivati haotično ponašanje. Razlog je, jednostavno rečeno, taj što su rješenja takvih sistema asimptotska u odnosu na dvodimenzionalnu površinu i stoga se rješenja dobro ponašaju.

Dok Poincaré-Bendixsonova teorema pokazuje da kontinuirani dinamički sistem na euklidskoj ravni ne može biti haotičan, dvodimenzionalni kontinuirani sistemi sa neeuklidskom geometrijom i dalje mogu pokazivati neka haotična svojstva.

Gornji skup od tri obične diferencijalne jednačine naziva se trodimenzijski Lorenzov model. Od 1963. godine, višedimenzionalni Lorenzovi modeli su razvijeni u brojnim studijama za ispitivanje utjecaja povećanog stepena nelinearnosti, kao i njenog kolektivnog efekta sa zagrijavanjem i disipacijama, na stabilnost rješenja.

Haos i linearni sistemi

Možda iznenađujuće, haos se može pojaviti i u linearnim sistemima, pod uslovom da su beskonačno dimenzionalni. Teorija linearnog haosa se razvija u funkcionalnoj analizi. Kvantna mehanika se također često smatra glavnim primjerom linearne nehaotične teorije, koja prigušuje haotično ponašanje na isti način na koji viskoznost prigušuje turbulenciju, što zapravo nije slučaj za kvantno-mehaničke sisteme s beskonačnim stepenima slobode, kao što su snažno korelirani sistemi koji pokazuju oblike kvantne turbulencije nano skale.

Ostale karakteristike haosa

Beskonačno dimenzionalna preslikavanja

Jednostavna generalizacija povezanih diskretnih preslikavanja zasniva se na konvolucijskom integralu koji posreduje u interakciji između prostorno distribuiranih mapa:

$\psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}$,

Gdje je jezgro $K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)$ propagator izveden kao Greenova funkcija relevantnog fizičkog sistema,

$f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]$ mogla bi biti slična logističkoj mapi $\psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]$ ili kompleksna mapa. Za primjere kompleksnih mapa Julijin skup$f[\psi ]=\psi ^{2}$ ili Ikeda mapa$\psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}$ može poslužiti. Kada se razmatraju problemi širenja talasa na udaljenosti $L=ct$ sa talasnom dužinom $\lambda =2\pi /k$, jezgro $K$ može imati oblik Greenove funkcije za Schrödingerovu jednačinu:

$K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]$.

Spontani red

Pod pravim uslovima, haos spontano evoluira u obrazac usklađenog redoslijeda. U Kuramotovom modelu, četiri uslova su dovoljna da proizvedu sinhronizaciju u haotičnom sistemu. Primjeri uključuju spregnutu oscilaciju klatna Huygensove, krijesnice, neurone, rezonancu Londonskog Millenniumskog Bridgea i velike nizove Josephsonovih spojeva.

Štaviše, sa stanovišta teorijske fizike, sam dinamički haos, u svojoj najopštijoj manifestaciji, jeste spontani red. Suština je u tome da većina redova u prirodi nastaje iz spontanog sloma različitih simetrija. Ova velika porodica fenomena uključuje elastičnost, supravodljivost, feromagnetizam i mnoge druge. Prema supersimetričnoj teoriji stohastičke dinamike, haos, ili preciznije, njegova stohastička generalizacija, također je dio ove porodice. Odgovarajuća simetrija koja se krši je topološka supersimetrija koja je skrivena u svim stohastičkim (parcijalnim) diferencijalnim jednačinama, a odgovarajući parametar reda je teorijski utjelovljenje efekta leptira.

Kombinatorni (ili kompleksni) haos

Postoje i definicije haosa koje ne zahtijevaju osjetljivost na svojstvo početnih uslova, kao što je kombinatorni haos (tj. rekurzivna primjena diskretne kombinatorne akcije). Ovo je također uporedivo i slično haosu koji generiraju ćelijski automati. Ovo je važno jer je ova vrsta haosa također ekvivalentna Turingovoj mašini, možete izvršavati računanje s takvim dinamičkim sistemima i kao takav problem zaustavljanja nije odlučiv, stoga neki računarski algoritmi možda nikada neće završiti. Ovo je u konačnici vrlo drugačiji način da sistem bude nepredvidljiv.

Historija

Barnsleyjeva paprat kreirana korištenjem igre haosa. Prirodni oblici (paprati, oblaci, planine itd.) mogu se rekreirati putem sistema iteriranih funkcija (IFS).

James Clerk Maxwell bio je prvi naučnik koji je naglasio važnost početnih uslova i smatra se jednim od prvih koji je raspravljao o teoriji haosa, s radom u 1860-im i 1870-im. Tokom 1880-ih, proučavajući problem triju tijela, Henri Poincaré je otkrio da mogu postojati orbite koje su neperiodične, a ipak se ne povećavaju zauvijek niti se približavaju fiksnoj tački. Godine 1898, Jacques Hadamard objavio je uticajnu studiju o kretanju slobodne čestice koja klizi bez trenja po površini konstantne negativne zakrivljenosti, nazvanu "Hadamardov bilijar". Hadamard je uspio pokazati da su sve trajektoriji nestabilni, Ljapunovljev eksponent je prvi put objavljen 1897. na francuskom jeziku, a kasnije 1907. godine, nije spomenut od strane Hadamara (1898), koji izvodi Hillovu diferencijalnu jednačinu sa negativnom zakrivljenošću, a time i hiperboličku geometriju u faznom prostoru, tj. divergentne orbite, ali zapravo ne izračunava nijedan eksponent. U ovom PRL radu, umjesto toga, Ljapunovljev eksponent je eksplicitan. Kasnije studije, također na temu nelinearnih diferencijalnih jednačina, proveo je George David Birkhoff. Andrey Nikolaevich Kolmogorov, Mary Lucy Cartwright i John Edensor Littlewood, i Stephen Smale. Eksperimentalisti i matematičari susreli su se s turbulencijom u kretanju fluida, haotičnim ponašanjem u društvu i ekonomiji, neperiodičnim oscilacijama u radio krugovima i fraktalnim obrascima u prirodi bez koristi teorije koja bi objasnila ono što su vidjeli.

Uprkos početnim uvidima u prvoj polovini dvadesetog stoljeća, teorija haosa formalizirana je kao takva tek nakon sredine stoljeća, kada je nekim naučnicima prvi put postalo očigledno da linearna teorija, koja je glatka i kontinuirana, a koja je bila prevladavajuća teorija sistema u to vrijeme, jednostavno nije mogla objasniti uočeno ponašanje određenih eksperimenata poput logističke mape koja ima skokove i stohastička ponašanja. Oba ova zapažanja naglašavaju vezu haosa sa stohastičkim ili nelinearnim dinamičkim sistemima, ali definitivno ne-diferencijabilnom i ne-kontinuiranom vremenskom evolucijom. Ono što se pripisivalo nepreciznosti mjerenja i jednostavnom "šumu" teoretičari haosa smatrali su punopravnom komponentom proučavanih sistema. Godine 1959. Boris Valerianovich Čirikov predložio je kriterij za pojavu klasičnog haosa u Hamiltonovim sistemima (Čirikov kriterij). Primijenio je ovaj kriterij kako bi objasnio neke eksperimentalne rezultate o ograničenju plazme u otvorenim zrcalnim zamkama. Ovo se smatra prvom fizičkom teorijom haosa koja je uspjela objasniti konkretan eksperiment. A sam Boris Čirikov se smatra pionirom klasičnog i kvantnog haosa.

Glavni katalizator za razvoj teorije haosa bio je elektronski računar. Veliki dio matematike teorije haosa uključuje ponovljene iteracije jednostavnih matematičkih formula, što bi bilo nepraktično raditi ručno. Elektronski računari su učinili ove ponovljene proračune praktičnim, dok su slike i brojevi omogućili vizualizaciju ovih sistema. Kao postdiplomski student u laboratoriji Chihira Hayashija na Univerzitetu u Kyotu, Yoshisuke Ueda je eksperimentisao s analognim računarima i 27. novembra 1961. godine primijetio je ono što je nazvao "slučajnim prelaznim fenomenima". Ipak, njegov savjetnik se u to vrijeme nije složio s njegovim zaključcima i nije mu dozvolio da izvijesti o svojim nalazima sve do 1970. godine.

Turbulencija u vrtlogu na vrhu krila iz avionskog krila. Studije kritične tačke iza koje sistem stvara turbulenciju bile su važne za teoriju haosa, koju je, naprimjer, analizirao sovjetski fizičar Lev Landau, koji je razvio Landau-Hopfovu teoriju turbulencije. David Ruelle i Floris Takens kasnije su, suprotno Landauu, predvidjeli da se turbulencija fluida može razviti putem stranog atraktora, glavnog koncepta teorije haosa.

Edward Lorenz bio je rani pionir teorije. Njegovo interesovanje za haos se slučajno pojavilo kroz njegov rad na predviđanju vremena 1961. godine. Lorenz i njegove saradnice Ellen Fetter i Margaret Hamilton ponovili sub Lorenzovo otkriće, koje je dalo ime Lorenzovim atraktorima, pokazalo je da čak ni detaljno atmosfersko modeliranje ne može, općenito, dati precizna dugoročna vremenska predviđanja. Lorenzovo otkriće, koje je dalo ime Lorenzovim atraktorima, pokazalo je da čak ni detaljno atmosfersko modeliranje ne može, generalno, dati precizne dugoročne vremenske prognoze.

Godine 1963. Benoit Mandelbrot, proučavajući teoriju informacija, otkrio je da je šum u mnogim fenomenima (uključujući cijene dionica na berzi i telefonske krugove) oblikovan poput Cantorovog skupa, skupa tačaka s beskonačnom hrapavošću i detaljima. Mandelbrot je opisao i "Noin efekat" (u kojem se mogu dogoditi nagle diskontinuirane promjene) i "Josifov efekat" (u kojem se vrijednost može održati neko vrijeme, ali se nakon toga iznenada promijeniti). Godine 1967. objavio je djelo "Koliko je duga obala Britanije? Statistička samosličnost i frakcijska dimenzija", pokazujući da dužina obalne linije varira s razmjerom mjernog instrumenta, da nalikuje sebi u svim razmjerama i da je beskonačne dužine za beskonačno mali mjerni uređaj. Tvrdeći da klupko kanapa izgleda kao tačka kada se gleda izdaleka (0-dimenzionalno), kao lopta kada se gleda prilično blizu (3-dimenzionalno) ili kao zakrivljena nit (1-dimenzionalno), on je tvrdio da su dimenzije objekta relativne u odnosu na posmatrača i da mogu biti frakcijske. Objekt čija je nepravilnost konstantna na različitim skalama („samosličnost“) je fraktal (primjeri uključuju Mengerovu spužvu, Sierpinskijevu brtvu i Kochovu krivulju ili pahuljicu, koja je beskonačno dugačka, ali zatvara konačan prostor i ima fraktalnu dimenziju od oko 1,2619). Godine 1982. Mandelbrot je objavio djelo Fraktalna geometrija prirode, koje je postalo klasik teorije haosa.

U decembru 1977. godine, Njujorška akademija nauka organizovala je prvi simpozijum o haosu, kojem su prisustvovali David Ruelle, Robert May, James A. Yorke (tvorac termina "haos" koji se koristi u matematici), Robert Shaw i meteorolog Edward Lorenz. Sljedeće godine Pierre Coullet i Charles Tresser objavili su članak "Itérations d'endomorphismes et grupe de renormalisation", a članak Mitchella Feigenbauma "Kvantitativna univerzalnost za klasu nelinearnih transformacija" konačno se pojavio u časopisu, nakon tri godine odbijanja recenzenata. Tako su Feigenbaum (1975) i Coullet & Tresser (1978) otkrili univerzalnost u haosu, omogućavajući primjenu teorije haosa na mnoge različite fenomene.

Godine 1979, Albert J. Libchaber, tokom simpozija koji je u Aspenu organizovao Pierre Hohenberg, predstavio je svoje eksperimentalno posmatranje kaskade bifurkacije koja dovodi do haosa i turbulencije u Rayleigh-Bénardovim konvekcijskim sistemima. Dobitnik je Wolfove nagrade za fiziku 1986. godine zajedno sa Mitchellom J. Feigenbaumom za njihova inspirativna dostignuća.

U 1986., Njujorška akademija nauka je zajedno sa Nacionalnim institutom za mentalno zdravlje i Uredom za pomorska istraživanja organizovala prvu važnu konferenciju o haosu u biologiji i medicini. Tamo je Bernardo Huberman predstavio matematički model disfunkcije praćenja očiju kod ljudi sa shizofrenijom. To je dovelo do obnove fiziologije 1980-ih godina primjenom teorije haosa, na primjer, u proučavanju patoloških srčanih ciklusa.

Godine 1987, Per Bak, Chao Tang i Kurt Wiesenfeld objavili su rad u časopisu Physical Review Letters. prvi put opisujući samoorganizovanu kritičnost (SOC), koja se smatra jednim od mehanizama kojim složenost nastaje u prirodi.

Uz uglavnom laboratorijske pristupe poput Bak-Tang-Wiesenfeldove pješčane hrpe, mnoga druga istraživanja fokusirala su se na velike prirodne ili društvene sisteme za koje se zna (ili se sumnja) da pokazuju nepromjenjivo ponašanje na skali. Iako ovi pristupi nisu uvijek bili dobrodošli (barem u početku) od strane stručnjaka u ispitivanim oblastima, SOC se ipak etablirao kao snažan kandidat za objašnjenje niza prirodnih fenomena, uključujući zemljotrese, (koji su, mnogo prije nego što je SOC otkriven, bili poznati kao izvor nepromjenjivog ponašanja na skali kao što je Gutenberg-Richterov zakon koji opisuje statističku raspodjelu veličina zemljotresa i Omorijev zakon opisujući učestalost naknadnih potresa), sunčeve baklje, fluktuacije u ekonomskim sistemima kao što su finansijska tržišta (reference na SOC su uobičajene u ekonofizici), formiranje pejzaža, šumski požari, klizišta, epidemije i biološka evolucija (gdje se SOC poziva, naprimjer, kao dinamički mehanizam iza teorije "isprekidanih ravnoteža" koju su iznijeli Niles Eldredge i Stephen Jay Gould). S obzirom na implikacije distribucije veličina događaja bez skale, neki istraživači sugerišu da je još jedan fenomen koji bi trebalo smatrati primjerom SOC-a pojava ratova. Ova istraživanja SOC-a uključivala su i pokušaje modeliranja (ili razvoj novih modela ili prilagođavanje postojećih specifičnostima datog prirodnog sistema) i opsežnu analizu podataka kako bi se utvrdilo postojanje i/ili karakteristike zakona prirodnog skaliranja.

Također 1987. godine James Gleick je objavio knjigu Haos: Stvaranje nove nauke, koja je postala bestseler i upoznala širu javnost s općim principima teorije haosa, kao i njenom historijom. U početku domen nekolicine, izolovanih pojedinaca, teorija haosa se progresivno pojavila kao transdisciplinarna i institucionalna disciplina, uglavnom pod nazivom analiza nelinearnih sistema. Aludirajući na koncept Thomasa Kuhna o promjeni paradigme izložen u djelu Struktura naučnih revolucija' (1962), mnogi "haosolozi" (kako su se neki opisivali) tvrdili su da je ova nova teorija primjer takve promjene, teza koju je podržao Gleick. Dostupnost jeftinijih i snažnijih računara proširuje primjenjivost teorije haosa. Trenutno, teorija haosa ostaje aktivno područje istraživanja, koje uključuju mnoge različite discipline kao što su matematika, topologija, fizika, društveni sistemi, modeliranje populacije, biologija, meteorologija, astrofizika, teorija informacija, računarska neuronauka, pandemija upravljanje krizom, etc.

Popularna, ali netačna analogija za haos

Osjetljiva zavisnost od početnih uslova (tj. efekat leptira) ilustrovana je korištenjem sljedeće narodne predaje:

Zbog nedostatka eksera, potkovica je bila izgubljena.
Zbog nedostatka potkovice, konj je bio izgubljen.
Zbog nedostatka konja, jahač je bio izgubljen.
Zbog nedostatka jahača, bitka je bila izgubljena.
Zbog nedostatka bitke, kraljevstvo je bilo izgubljeno.
A sve zbog nedostatka eksera za potkovicu.

Na osnovu navedenog, mnogi ljudi pogrešno vjeruju da uticaj male početne perturbacije monotono raste s vremenom i da svaka mala perturbacija može na kraju imati veliki uticaj na numeričke integracije. Međutim, 2008., Lorenz je izjavio da ne smatra da ovaj stih opisuje pravi haos, već da bolje ilustruje jednostavniji fenomen nestabilnosti i da stih implicitno sugeriše da naknadni mali događaji neće preokrenuti ishod. Na osnovu analize, ajet ukazuje samo na divergenciju, a ne na ograničenost. Ograničenost je važna za konačnu veličinu uzorka leptira. Karakteristika prethodno spomenutog ajeta opisana je kao "zavisnost osjetljiva na konačno vrijeme" ".

Aplikacjje

Školjka konus tekstil, slična izgledu Pravilu 30, ćelijskom automatu s haotičnim ponašanjem

Iako je teorija haosa nastala posmatranjem vremenskih obrazaca, postala je primjenjiva na niz drugih situacija. Neka područja koja danas imaju koristi od teorije haosa su geologija, matematika, biologija, računarske nauke, ekonomija, inženjerstvo, finandije, meteorologija, philosophy, anthropology, fizika, politics, populacijska dinamika, i robotika. U nastavku je navedeno nekoliko kategorija s primjerima, ali ovo nipošto nije sveobuhvatan popis jer se pojavljuju nove aplikacije.

Kriptografija

Glavni članak: Haotična kriptologija

Teorija haosa se već dugi niz godina koristi u kriptografiji. U posljednjih nekoliko decenija, haos i nelinearna dinamika su korišteni u dizajnu stotina kriptografskih primitivaa. Ovi algoritmi uključuju algoritme za šifriranje slika, heš funkcije, sigurne generatore pseudoslučajnih brojeva, protočne šifre, vodeni žig i steganografija. Većina ovih algoritama zasnovana je na unimodalnim haotičnim mapama, a veliki dio ovih algoritama koristi kontrolne parametre i početni uslov haotičnih mapa kao svoje ključeve. Iz šire perspektive, bez gubitka općenitosti, sličnosti između haotičnih mapa i kriptografskih sistema su glavna motivacija za dizajn kriptografskih algoritama zasnovanih na haosu. Jedna vrsta šifriranja, tajni ključ ili simetrični ključ, oslanja se na difuziju i konfuziju, što je dobro modelirano teorijom haosa. Drugi tip vrsta računarstva, DNK računarstvo, uparena s teorijom haosa, nudi način šifriranja slika i drugih informacija. Mnogi DNK-haos kriptografski algoritmi su se pokazali nesigurnima ili se smatra da primijenjena tehnika nije efikasna.

Robotika

Robotika je još jedno područje koje je nedavno imalo koristi od teorije haosa. Umjesto robota koji djeluju metodom pokušaja i grešaka kako bi se usavršavali u interakciji sa svojim okruženjem, teorija haosa je korištena za izgradnju prediktivnog modela. Haotičnu dinamiku su pokazali dvonožni roboti pasivno hodanje.

Biologija

Više od stotinu godina, biolozi prate populacije različitih vrsta pomoću modela populacije. Većina modela je kontinuirana funkcija, ali su nedavno naučnici uspjeli implementirati haotične modele u određenim populacijama. Naprimjer, studija na modelima kanadskog risa pokazala je haotično ponašanje u rastu populacije. Haos se može naći i u ekološkim sistemima, kao što je hidrologija. Iako haotičan model za hidrologiju ima svoje nedostatke, još uvijek se mnogo toga može naučiti posmatrajući podatke kroz prizmu teorije haosa. Druga biološka primjena nalazi se u kardiotokografiji. Fetusni nadzor predstavlja delikatnu ravnotežu između dobijanja tačnih informacija i što neinvazivnijeg pristupa. Bolji modeli znakova upozorenja na fetusnu hipoksiju mogu se dobiti haotičnim modeliranjem.

Kao što Perry ističe, modeliranje haotičnih vremenskih serija u teorijskoj ekologiji je potpomognuto ograničenjem. Uvijek postoji potencijalna poteškoća u razlikovanju stvarnog haosa od haosa koji postoji samo u modelu. Stoga će i ograničenje u modelu i/ili duplicirani podaci vremenskih serija za poređenje biti korisni u ograničavanju modela na nešto blisko stvarnosti, naprimjer Perry & Wall 1984. Koevolucija gen-za-gen ponekad pokazuje haotičnu dinamiku u frekvencijama alela. Dodavanje varijabli ovo preuveličava: haos je češći u modelima koji uključuju dodatne varijable kako bi odrazili dodatne aspekte stvarnih populacija. Robert M. May je i sam proveo neke od ovih fundamentalnih studija o koevoluciji usjeva, što je zauzvrat pomoglo u oblikovanju cijele oblasti. Čak i u stabilnom okruženju, samo kombinovanje jednog usjeva i jednog patogena može rezultirati kvaziperiodičnim- ili haotičnim- oscilacijama u populaciji.Šablon:RP

Ekonomija

Moguće je da se ekonomski modeli mogu poboljšati i primjenom teorije haosa, ali predviđanje zdravlja ekonomskog sistema i faktora koji na njega najviše utiču izuzetno je složen zadatak. Ekonomski i finansijski sistemi se fundamentalno razlikuju od onih u klasičnim prirodnim naukama, budući da su prvi inherentno stohastički po prirodi, budući da su rezultat interakcija ljudi, te je stoga malo vjerovatno da će čisti deterministički modeli pružiti tačne prikaze podataka. Empirijska literatura koja testira haos u ekonomiji i finansijama predstavlja vrlo mješovite rezultate, dijelom zbog konfuzije između specifičnih testova za haos i općenitijih testova za nelinearne odnose.

Haos se u ekonomiji može pronaći pomoću analize kvantifikacije ponavljanja. U stvari, Orlando et al. pomoću tzv. indeksa korelacija kvantifikacije ponavljanja uspjeli su otkriti skrivene promjene u vremenskim serijama. Zatim je ista tehnika korištena za otkrivanje prijelaza iz laminarne (regularne) u turbulentnu (haotičnu) fazu, kao i razlika između makroekonomskih varijabli i isticanje skrivenih karakteristika ekonomske dinamike. Konačno, teorija haosa mogla bi pomoći u modeliranju načina na koji ekonomija funkcioniše, kao i u uključivanju šokova uzrokovanih vanjskim događajima poput COVID-19.

Konačna predvidljivost u vremenu i klimi

Zbog osjetljive zavisnosti rješenja od početnih uslova (SDIC), poznate i kao efekat leptira, haotični sistemi poput Lorenzovog modela iz 1963. impliciraju konačan horizont predvidljivosti. To znači da, iako su tačna predviđanja moguća tokom konačnog vremenskog perioda, ona nisu izvodljiva tokom beskonačnog vremenskog perioda. Uzimajući u obzir prirodu Lorenzovih haotičnih rješenja, odbor koji su predvodili Charney i saradnici 1966. godine ekstrapolirali su vrijeme udvostručenja od pet dana iz općeg modela cirkulacije, što sugerira granicu predvidljivosti od dvije sedmice. Ova veza između vremena udvostručenja od pet dana i granice predvidljivosti od dvije sedmice zabilježena je i u izvještaju Globalnog programa za istraživanje atmosfere (GARP) iz 1969. To acknowledge the combined direct and indirect influences from the Mintz and Arakawa model and Lorenz's models, as well as the leadership of Charney et al., Shen et al. dvosedmičnu granicu predvidljivosti nazivaju "hipotezom granice predvidljivosti", povlačeći analogiju sa Murovim zakonom.

Okvir za modeliranje proširen umjetnom inteligencijom

U modelima velikih jezika vođenim umjetnom inteligencijom, odgovori mogu pokazivati osjetljivost na faktore poput promjena u formatiranju i varijacija u uputama. Ove osjetljivosti su slične efektu leptira. Iako klasifikacija modela velikih jezika pokretanih umjetnom inteligencijom kao klasičnih determinističkih haotičnih sistema predstavlja izazove, pristupi i tehnike inspirisani haosom (kao što je modeliranje ansambla) mogu se koristiti za izvlačenje pouzdanih informacija iz ovih ekspanzivnih jezičkih modela (vidi također "Efekat leptira u popularnoj kulturi").

Ostala područja

U hemiji, predviđanje rastvorljivosti gasa je ključno za proizvodnju polimera, ali modeli koji koriste optimizaciju roja čestica (PSO) imaju tendenciju da konvergiraju ka pogrešnim tačkama. Poboljšana verzija PSO-a je stvorena uvođenjem haosa, što sprečava da se simulacije zaglave. U nebeskoj mehanici, posebno prilikom posmatranja asteroida, primjena teorije haosa dovodi do boljih predviđanja o tome kada će se ovi objekti približiti Zemlji i drugim planetama.. Četiri od pet Plutonovih mjeseci rotiraju haotično. U kvantnoj fizici i elektrotehnici, proučavanje velikih nizova Josephsonovih spojeva uveliko je koristilo teoriji haosa. Bliže domu, rudnici uglja oduvijek su bili opasna mjesta gdje česta curenja prirodnog plina uzrokuju mnoge smrtne slučajeve. Do nedavno nije postojao pouzdan način da se predvidi kada će se dogoditi. Ali ova curenja plina imaju haotične tendencije koje se, uz pravilno modeliranje, mogu prilično precizno predvidjeti.

Teorija haosa može se primijeniti i izvan prirodnih nauka, ali historijski gledano, gotovo sve takve studije su patile od nedostatka ponovljivosti; slabe eksterne validnosti; i/ili nepažnje prema unakrsnoj validaciji, što je rezultiralo slabom prediktivnom tačnošću (ako je uopće pokušano predviđanje izvan uzorka). Glass, Mandell i Selz otkrili su da nijedna EEG studija do sada nije ukazala na prisustvo čudnih atraktora ili drugih znakova haotičnog ponašanja.

Redington i Reidbord (1992) pokušali su pokazati da ljudsko srce može pokazivati haotične osobine. Pratili su promjene u intervalima između otkucaja srca kod jedne pacijentice na psihoterapiji dok je prolazila kroz periode različitog emocionalnog intenziteta tokom terapijske sesije. Rezultati su, priznajem, bili neuvjerljivi. Ne samo da je bilo nejasnoća u raznim dijagramima koje su autori napravili kako bi navodno pokazali dokaze haotične dinamike (spektralna analiza, fazna putanja i dijagrami autokorelacije), već i kada su pokušali izračunati Ljapunovljev eksponent kao definitivniju potvrdu haotičnog ponašanja, autori su otkrili da to ne mogu pouzdano učiniti.

U svom radu iz 1995. godine, Metcalf i Allen tvrdili su da su u ponašanju životinja otkrili obrazac udvostručavanja perioda koji dovodi do haosa. Autori su ispitali dobro poznati odgovor nazvan polidipsija izazvana rasporedom, pri čemu životinja lišena hrane određeni vremenski period pije neuobičajene količine vode kada joj se hrana konačno ponudi. Kontrolni parametar (r) koji je ovdje djelovao bila je dužina intervala između hranjenja, nakon što se nastavi. Autori su pazili da testiraju veliki broj životinja i da uključe mnogo ponavljanja, a svoj eksperiment su osmislili tako da isključe vjerovatnoću da su promjene u obrascima odgovora uzrokovane različitim početnim mjestima za r.

Vremenske serije i dijagrami prvog kašnjenja pružaju najbolju podršku za iznesene tvrdnje, pokazujući prilično jasan prelazak od periodičnosti do nepravilnosti kako su se vremena hranjenja povećavala. Različiti dijagrami faznih trajektorija i spektralne analize, s druge strane, ne poklapaju se dovoljno dobro s drugim grafikonima ili s ukupnom teorijom da bi neizbježno doveli do haotične dijagnoze. Na primjer, fazne trajektorije ne pokazuju definitivnu progresiju prema sve većoj složenosti (i dalje od periodičnosti); proces izgleda prilično mutan. Također, tamo gdje su Metcalf i Allen u svojim spektralnim dijagramima vidjeli periode od dva i šest, postoji prostor za alternativna tumačenja. Sva ova dvosmislenost zahtijeva neka zmijolika, post-hoc objašnjenja kako bi se pokazalo da rezultati odgovaraju haotičnom modelu.

Prilagođavanjem modela savjetovanja o karijeri kako bi se uključila haotična interpretacija odnosa između zaposlenika i tržišta rada, Amundson i Bright su otkrili da se ljudima koji se bore s odlukama o karijeri mogu dati bolji prijedlozi. Moderne organizacije se sve više posmatraju kao otvoreni kompleksni adaptivni sistemi sa fundamentalnim prirodnim nelinearnim strukturama, podložni unutrašnjim i vanjskim silama koje mogu doprinijeti haosu. Naprimjer, izgradnja tima i razvoj grupe se sve više istražuju kao inherentno nepredvidivi sistemi, jer neizvjesnost različitih pojedinaca koji se prvi put susreću čini putanju tima nepoznatom.

Crveni i plavi automobili se naizmjenično kreću; crveni se kreću samo prema gore, a plavi se kreću prema desno. Svaki put, svi automobili iste boje pokušavaju se pomaknuti za jedan korak ako ispred njih nema automobila. Ovdje se model samoorganizirao u donekle geometrijski uzorak gdje postoje neke prometne gužve i neka područja gdje se automobili mogu kretati maksimalnom brzinom.

Prognoziranje prometa može imati koristi od primjene teorije haosa. Bolja predviđanja o tome kada će doći do zagušenja omogućila bi poduzimanje mjera za njegovo raspršivanje prije nego što se dogodi. Kombiniranje principa teorije haosa s nekoliko drugih metoda dovelo je do preciznijeg kratkoročnog modela predviđanja (pogledajte grafikon BML prometnog modela desno)).

Teorija haosa je primijenjena na podatke o ciklusu vode u okolišu (također i na hidrološke podatke), kao što su padavine i protok. Ove studije su dale kontroverzne rezultate, jer su metodi za otkrivanje haotičnog potpisa često relativno subjektivni. Rane studije su obično "uspjevale" u pronalaženju haosa, dok su kasnije studije i meta-analize dovele te studije u pitanje i pružile objašnjenja zašto ovi skupovi podataka vjerovatno nemaju haotičnu dinamiku niske dimenzije.

Također pogledajte

Primjeri haotičnih sistema

• Advektovane konture
• Arnoldova mapa mačke
• Teorija bifurkacije
• Dinamika odbijajuće lopte
• Plastičnost
• Kliodinamika
• Rešetka spregnutih mapa
• Dvostruko klatno
• Duffingova jednačina
• Dinamički bilijar
• Ekonomski balon
• Gaspard-Riceov sistem
• Logistička mapa
• Hénonova mapa
• Mapa potkove
• Lista haotičnih mapa
• Rösslerov atraktor
• Standardna mapa
• Njihajuća Atwoodova mašina
• Nagni vrtlog

Ostale povezane teme

• Smrt amplitude
• Anosov difeomorfizam
• Teorija katastrofa
• Kauzalnost
• Haos kao narušavanje topološke supersimetrije
• Mašina haosa
• Haotično miješanje
• Haotično raspršenje
• Kontrola haosa
• Determinizam
• Rub haosa
• Pojava
• Mandelbrotov skup
• Kolmogorov-Arnold-Moserova teorema
• Loše uslovljavanje
• Loše postavljenost
• Nelinearni sistem
• Obrasci u prirodi
• Predvidljivost
• Kvantni haos
• Santa Fe Institute
• Lema sjenčenja
• Sinhronizacija haosa
• Nenamjerna posljedica

Ljudi

• Ralph Abraham
• Michael Berry
• Leon O. Chua
• Ivar Ekeland
• Doyne Farmer
• Martin Gutzwiller
• Brosl Hasslacher
• Michel Hénon
• Aleksandr Lyapunov
• Norman Packard
• Otto Rössler
• David Ruelle
• Oleksandr Mikolaiovich Sharkovsky
• Greg Sams
• Robert Shaw
• Floris Takens
• James A. Yorke
• George M. Zaslavsky

Reference

Pripisivanje

• Šablon:Pripisivanje slobodnog sadržaja

Dopunska literatura

Članci

• Sharkovskii, A.N. (1964). "Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself". Ukrainian Math. J. 16: 61–71.
• Li, T.Y.; Yorke, J.A. (1975). "Period Three Implies Chaos" (PDF). American Mathematical Monthly. 82 (10): 985–92. Bibcode:1975AmMM...82..985L. CiteSeerX 10.1.1.329.5038. doi:10.2307/2318254. JSTOR 2318254. Arhivirano s originala (PDF), 29. 12. 2009. Pristupljeno 12. 8. 2009.
• Alemansour, Hamed; Miandoab, Ehsan Maani; Pishkenari, Hossein Nejat (mart 2017). "Effect of size on the chaotic behavior of nano resonators". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 44: 495–505. Bibcode:2017CNSNS..44..495A. doi:10.1016/j.cnsns.2016.09.010.
• Crutchfield; Tucker; Morrison; J.D. Farmer; Packard; N.H.; Shaw; R.S (decembar 1986). "Chaos". Scientific American. 255 (6): 38–49 (bibliography p.136). Bibcode:1986SciAm.255d..38T. doi:10.1038/scientificamerican1286-46. Online version (Note: the volume and page citation cited for the online text differ from that cited here. The citation here is from a photocopy, which is consistent with other citations found online that don't provide article views. The online content is identical to the hardcopy text. Citation variations are related to country of publication).
• Kolyada, S.F. (2004). "Li-Yorke sensitivity and other concepts of chaos". Ukrainian Math. J. 56 (8): 1242–57. doi:10.1007/s11253-005-0055-4. S2CID 207251437.
• Day, R.H.; Pavlov, O.V. (2004). "Computing Economic Chaos". Computational Economics. 23 (4): 289–301. arXiv:2211.02441. doi:10.1023/B:CSEM.0000026787.81469.1f. S2CID 119972392. SSRN 806124.
• Strelioff, C.; Hübler, A. (2006). "Medium-Term Prediction of Chaos" (PDF). Phys. Rev. Lett. 96 (4): 044101. Bibcode:2006PhRvL..96d4101S. doi:10.1103/PhysRevLett.96.044101. PMID 16486826. 044101. Arhivirano s originala (PDF), 26. 4. 2013.
• Hübler, A.; Foster, G.; Phelps, K. (2007). "Managing Chaos: Thinking out of the Box" (PDF). Complexity. 12 (3): 10–13. Bibcode:2007Cmplx..12c..10H. doi:10.1002/cplx.20159. Arhivirano s originala (PDF), 30. 10. 2012. Pristupljeno 17. 7. 2011.
• Motter, Adilson E.; Campbell, David K. (2013). "Chaos at 50". Physics Today. 66 (5): 27. arXiv:1306.5777. Bibcode:2013PhT....66e..27M. doi:10.1063/PT.3.1977. S2CID 54005470.

Udžbenici

• Alligood, K.T.; Sauer, T.; Yorke, J.A. (1997). Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94677-1.
• Baker, G. L. (1996). Chaos, Scattering and Statistical Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39511-3.
• Badii, R.; Politi A. (1997). Complexity: hierarchical structures and scaling in physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66385-4.
• Collet, Pierre; Eckmann, Jean-Pierre (1980). Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4926-5.
• Devaney, Robert L. (2003). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (2nd izd.). Westview Press. ISBN 978-0-8133-4085-2.
• Robinson, Clark (1995). Dynamical systems: Stability, symbolic dynamics, and chaos. CRC Press. ISBN 0-8493-8493-1.
• Feldman, D. P. (2012). Chaos and Fractals: An Elementary Introduction. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-956644-0. Arhivirano s originala, 31. 12. 2019. Pristupljeno 29. 12. 2016.
• Gollub, J. P.; Baker, G. L. (1996). Chaotic dynamics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-47685-0.
• Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90819-9.
• Gulick, Denny (1992). Encounters with Chaos. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-025203-5.
• Gutzwiller, Martin (1990). Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.
• Hoover, William Graham (2001) [1999]. Time Reversibility, Computer Simulation, and Chaos. World Scientific. ISBN 978-981-02-4073-8.
• Kautz, Richard (2011). Chaos: The Science of Predictable Random Motion. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-959458-0.
• Kiel, L. Douglas; Elliott, Euel W. (1997). Chaos Theory in the Social Sciences. Perseus Publishing. ISBN 978-0-472-08472-2.
• Moon, Francis (1990). Chaotic and Fractal Dynamics. Springer-Verlag. ISBN 978-0-471-54571-2.
• Orlando, Giuseppe; Pisarchick, Alexander; Stoop, Ruedi (2021). Nonlinearities in Economics. Dynamic Modeling and Econometrics in Economics and Finance (jezik: engleski). 29. doi:10.1007/978-3-030-70982-2. ISBN 978-3-030-70981-5. S2CID 239756912 .
• Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01084-9.
• Strogatz, Steven (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Publishing. ISBN 978-0-7382-0453-6.
• Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850840-3.
• Tél, Tamás; Gruiz, Márton (2006). Chaotic dynamics: An introduction based on classical mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83912-9.
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Thompson JM, Stewart HB (2001). Nonlinear Dynamics And Chaos. John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-471-87645-8.
• Tufillaro; Reilly (1992). An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos. American Journal of Physics. 61. Addison-Wesley. str. 958. Bibcode:1993AmJPh..61..958T. doi:10.1119/1.17380. ISBN 978-0-201-55441-0.
• Wiggins, Stephen (2003). Introduction to Applied Dynamical Systems and Chaos. Springer. ISBN 978-0-387-00177-7.
• Zaslavsky, George M. (2005). Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852604-9.

Polutehnička i popularna djela

• Christophe Letellier, Chaos in Nature, World Scientific Publishing Company, 2012, ISBN 978-981-4374-42-2.
• Abraham, Ralph H.; Ueda, Yoshisuke, ured. (2000). The Chaos Avant-Garde: Memoirs of the Early Days of Chaos Theory. World Scientific Series on Nonlinear Science Series A. 39. World Scientific. Bibcode:2000cagm.book.....A. doi:10.1142/4510. ISBN 978-981-238-647-2.
• Barnsley, Michael F. (2000). Fractals Everywhere. Morgan Kaufmann. ISBN 978-0-12-079069-2.
• Bird, Richard J. (2003). Chaos and Life: Complexity and Order in Evolution and Thought. Columbia University Press. ISBN 978-0-231-12662-5.
• John Briggs and David Peat, Turbulent Mirror: : An Illustrated Guide to Chaos Theory and the Science of Wholeness, Harper Perennial 1990, 224 pp.
• John Briggs and David Peat, Seven Life Lessons of Chaos: Spiritual Wisdom from the Science of Change, Harper Perennial 2000, 224 pp.
• Cunningham, Lawrence A. (1994). "From Random Walks to Chaotic Crashes: The Linear Genealogy of the Efficient Capital Market Hypothesis". George Washington Law Review. 62: 546.
• Predrag Cvitanović, Universality in Chaos, Adam Hilger 1989, 648 pp.
• Leon Glass and Michael C. Mackey, From Clocks to Chaos: The Rhythms of Life, Princeton University Press 1988, 272 pp.
• James Gleick, Chaos: Making a New Science, New York: Penguin, 1988. 368 pp.
• John Gribbin. Deep Simplicity. Penguin Press Science. Penguin Books.
• L Douglas Kiel, Euel W Elliott (ed.), Chaos Theory in the Social Sciences: Foundations and Applications, University of Michigan Press, 1997, 360 pp.
• Arvind Kumar, Chaos, Fractals and Self-Organisation; New Perspectives on Complexity in Nature , National Book Trust, 2003.
• Hans Lauwerier, Fractals, Princeton University Press, 1991.
• Edward Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press, 1996.
• Marshall, Alan (2002). The Unity of Nature - Wholeness and Disintegration in Ecology and Science. doi:10.1142/9781860949548. ISBN 9781860949548.
• David Peak and Michael Frame, Chaos Under Control: The Art and Science of Complexity, Freeman, 1994.
• Heinz-Otto Peitgen and Dietmar Saupe (Eds.), The Science of Fractal Images, Springer 1988, 312 pp.
• Nuria Perpinya, Caos, virus, calma. La Teoría del Caos aplicada al desórden artístico, social y político, Páginas de Espuma, 2021.
• Clifford A. Pickover, Computers, Pattern, Chaos, and Beauty: Graphics from an Unseen World , St Martins Pr 1991.
• Clifford A. Pickover, Chaos in Wonderland: Visual Adventures in a Fractal World, St Martins Pr 1994.
• Ilya Prigogine and Isabelle Stengers, Order Out of Chaos, Bantam 1984.
• Peitgen, Heinz-Otto; Richter, Peter H. (1986). The Beauty of Fractals. doi:10.1007/978-3-642-61717-1. ISBN 978-3-642-61719-5.
• David Ruelle, Chance and Chaos, Princeton University Press 1993.
• Ivars Peterson, Newton's Clock: Chaos in the Solar System, Freeman, 1993.
• Ian Roulstone; John Norbury (2013). Invisible in the Storm: the role of mathematics in understanding weather. Princeton University Press. ISBN 978-0691152721.
• Ruelle, D. (1989). Chaotic Evolution and Strange Attractors. doi:10.1017/CBO9780511608773. ISBN 9780521362726.
• Manfred Schroeder, Fractals, Chaos, and Power Laws, Freeman, 1991.
• Smith, Peter (1998). Explaining Chaos. doi:10.1017/CBO9780511554544. ISBN 9780511554544.
• Ian Stewart, Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos , Blackwell Publishers, 1990.
• Steven Strogatz, Sync: The emerging science of spontaneous order, Hyperion, 2003.
• Yoshisuke Ueda, The Road To Chaos, Aerial Pr, 1993.
• M. Mitchell Waldrop, Complexity : The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos, Simon & Schuster, 1992.
• Antonio Sawaya, Financial Time Series Analysis : Chaos and Neurodynamics Approach, Lambert, 2012.

Vanjski linkovi

• Hazewinkel, Michiel, ured. (2001), "Chaos", Matematička enciklopedija, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Nonlinear Dynamics Research Group with Animations in Flash
• The Chaos group at the University of Maryland
• The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals
• ChaosBook.org An advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
• Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences
• Nonlinear Dynamics Research Group at CSDC, Florence, [[Italy
• Nonlinear dynamics: how science comprehends chaos, talk presented by Sunny Auyang, 1998.
• Nonlinear Dynamics. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
• Gleick's Chaos (excerpt) Arhivirano 2. 2. 2007. na Wayback Machine
• Systems Analysis, Modelling and Prediction Group at the University of Oxford
• A page about the Mackey-Glass equation
• High Anxieties — The Mathematics of Chaos (2008) BBC documentary directed by David Malone
• The chaos theory of evolution – article published in Newscientist featuring similarities of evolution and non-linear systems including fractal nature of life and chaos.
• Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez, Chaos, A Mathematical Adventure. Nine films about dynamical systems, the butterfly effect and chaos theory, intended for a wide audience.
• "Chaos Theory", BBC Radio 4 discussion with Susan Greenfield, David Papineau & Neil Johnson (In Our Time, May 16, 2002)
• Chaos: The Science of the Butterfly Effect (2019) an explanation presented by Derek Muller