Testovi konvergencije

U matematici, testovi konvergencije su metode testiranja konvergencije, uslovne konvergencije, apsolutne konvergencije, radijusa konvergencije ili divergencije beskonačnih redova.

Spisak testova[uredi | uredi izvor]

D'Alambertov test. Pretpostavimo da za sve n, $a_{n}>0$ . Pretpostavimo da postoji $r$ takav da je

\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=q

.

Ako je q < 1, tada red konvergira. Ako je q > 1, tada red divergira. Ako je q = 1, test je neodlučan, te red može ili konvergirati ili divergirati.

Cauchyjev korjeni test ili Test n-tog korjena. Definišimo q na slijedeći način:

q=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},

gdje "lim sup" označavathe limes superior (moguće ∞; ako limes postoji u istoj vrijednosti).

Ako je q < 1, tada red konvergira. Ako je q > 1, tada red divergira. Ako je q = 1, test je neodlučan, te red može ili konvergirati ili divergirati.

Cauchyjev integralni test konvergencije. Red se može uporediti sa integralom kako bi se odredila konvergencija ili divergencija. Neka $f(n)=a_{n}$ bude pozitivna, monotono opadajuća i neprekidna funkcija. Ako je

\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,

tada red konvergira. Ako ako integral divergira, kada red, također, divergira.

Test poređenja. Ako je $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$ , i ako limes $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ postoji i različit je od nule, tada red $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergira ako i samo ako $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ konvergira.

Abelov test

Raabeov test

Za neke posebne vrste redova postoje specijalizirani testovi konvergencije, na primjer za Fourierove redove postoji Dinijev test.

Uporedba[uredi | uredi izvor]

Cauchyjev korjeni test je jači od D'Alambertovog testa (jači je pošto je potreban uslov slabiji): kada god D'Alambertov test odredi konvergenciju ili divergenciju beskonačnog reda, Cauchyjev korjeni test odredi isto, ali obrnuto ne vrijedi.^[1]

Na primjer, za red

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...

konvergencija slijedi iz Cauchyjevog korjenog testa, ali ne i iz D'Alambertovog testa.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo red

$(*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ .

Cauchyjev test kondenzacije kaže da je red (*) konačnno konvergentan ako je red

$(**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

konačno konvergentan. Pošto je

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )^{n}}$

(**) geometrijski red količnikom narednog i prethodnog člana od $2^{(1-\alpha )}$ . (**) je konačno konvergentan ako je količnik manji od jedan. Zbog toga, (*) je konačno konvergentan ako i samo ako je $\alpha >1$ .