Tok (matematika)

Tok u faznom prostoru određen diferencijalnom jednačinom klatna. Na horizontalnoj osi, položaj klatna, a na vertikalnoj njegova brzina.

U matematici, tok formalizira ideju kretanja čestica u fluidu. Tokovi su sveprisutni u nauci, uključujući inženjerstvo i fiziku. Pojam toka je osnovni za proučavanje običnih diferencijalnih jednačina. Neformalno, tok se može posmatrati kao kontinuirano kretanje tačaka tokom vremena. Formalnije, tok je grupno djelovanje realnih brojeva na skupu.

Ideja vektorskog toka, odnosno toka određenog vektorskim poljem, javlja se u oblastima diferencijalne topologije, Rimanove geometrije i Lijeve grupe. Specifični primjeri vektorskih tokova uključuju geodetski tok, Hamiltonov tok, Riccijev tok, tok srednje zakrivljenosti i Anosovljev tok. Tokovi se također mogu definirati za sisteme slučajnih varijabli i stohastičkih procesa, te se javljaju u proučavanju ergodičkih dinamičkih sistema. Najslavniji od njih je možda Bernoullijev tok.

Formalna definicija

Tok na setu X je grupna akcija aditivne grupe realnih brojeva na X. Eksplicitnije, tok je mapiranje

$\varphi :X\times \mathbb {R} \to X$

such that, for all x ∈ X i svi realni brojevi s i t,

${\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}$

IUobičajeno je pisati φ^t(x) umjesto φ(x, t), tako da se gornje jednačine mogu izraziti kao $\varphi ^{0}={\text{Id}}$ (funkcija identiteta) i $\varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}$ (grupni zakon). Zatim, za sve Šablon:Tmath the mapping Šablon:Tmath je bijekcija s inverzomŠablon:Tmath Ovo proizilazi iz gornje definicije, a realni parametar t može se uzeti kao generalizirana funkcionalna potencija, kao u iteraciji funkcije.

Tokovi obično moraju biti kompatibilni sa matematičkim strukturama datim na skupu X. Posebno, ako X opremljen je topologijom, tada se obično zahtijeva da φ bude kontinuirana. Ako je X opremljen diferencijabilnom strukturom, tada se obično zahtijeva da φ bude diferencijabilan. U ovim slučajevima tok formira jednoparametarsku grupu homeomorfizama i difeomorfizama.

U određenim situacijama mogu se razmotriti i lokalni tokovi, koji su definirani samo u nekom podskupu

$\mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in (a_{x},b_{x}),\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R}$

called the Šablon:Visible anchor of φ. This is often the case with the flows of vector fields, when these vector fields are not complete. In such cases, the group action properties can be described by the notion of groupoids or pseudogroups.

Alternativne notacije

Vrlo je uobičajeno u mnogim oblastima, uključujući inženjerstvo, fiziku i proučavanje diferencijalnih jednačina, koristiti notaciju koja implicitno čini tok. Dakle, x(t) je zapisano za Šablon:Tmath i moglo bi se reći da varijabla x zavisi od vremena t i početnog uslova x = x₀. Primjeri su dati u nastavku.

U slučaju toka vektorskog polja $V$ na glatkoj mnogostrukosti $X$, tok se često označava na takav način da je njegov generator eksplicitan. Naprimjer,

$\Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).$

Orbite

Dat je x u X, skup $\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}$ se naziva orbita od x pod φ. Neformalno, može se smatrati putanjom čestice koja je inicijalno pozicionirana na x. Ako je tok generiran vektorskim poljem, tada su njegove orbite slike njegovih integralnih krivulja.

Primjeri

Algebarska jednačina

Neka je Šablon:Tmath vremenski zavisna trajektorija koja je bijektivna funkcija. Tada se tok može definirati kao: $\varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).$

Autonomni sistemi običnih diferencijalnih jednačina

Neka Šablon:Tmath bude (vremenski nezavisno) vektorsko polje i Šablon:Tmath the solution of the initial value problem

${\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.$

Tada $\varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t)={\boldsymbol {x}}(t)$ je tok vektorskog polja $F$. To je dobro definisan lokalni tok pod uslovom da je vektorsko polje Šablon:Tmath is Lipschitz-continuous. Tada Šablon:Tmath ije također Lipschitz-kontinuiran gdje god je definiran. Općenito, može biti teško pokazati da je tok Parsiranje nije uspjelo (sintaksna greška): {\displaystyle φ} globalno definiran, ali jedan jednostavan kriterij je da vektorsko polje.

Vremenski zavisne obične diferencijalne jednačine

U slučaju vremenski zavisnih vektorskih polja Šablon:Tmath, ojedan označava $\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})={\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),$ gdje je Šablon:Tmath rastvor od

${\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.$

Tada Šablon:Tmath je vremenski zavisan tok $F$. To nije "tok" prema gornjoj definiciji, ali se lako može shvatiti kao jedan preuređivanjem argumenata. Naime, mapiranje

Parsiranje nije uspjelo (nepoznata funkcija "\do"): {\displaystyle \varphi\colon(\R^n\times\R)\times\R \do\R^n\times\R;\qquad \varphi((\boldsymbol{x}_0, t_0), t)=(\varphi^{t,t_0}(\boldsymbol{x}_0),t+t_0)}

zaista zadovoljava grupni zakon za posljednju varijablu:

${\begin{aligned}\varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)&=\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})\\&=({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})\\&=\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).\end{aligned}}$

Vremenski zavisni tokovi vektorskih polja mogu se posmatrati kao specijalni slučajevi vremenski nezavisnih tokova pomoću sljedećeg trika. Definirajte:${\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).$ Tada y(t) je rješenje problema početne vrijednosti "neovisnog od vremena"

${\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})$

ako i samo ako x(t) je rješenje originalnog vremenski zavisnog problema početnih vrijednosti. Nadalje, tada je preslikavanje φ upravo tok "vremenski nezavisnog" vektorskog polja G.

Tokovi vektorskih polja na mnogostrukostima

Tokovi vremenski nezavisnih i vremenski zavisnih vektorskih polja definisani su na glatkim mnogostrukostima tačno onako kako su definisani na euklidskom prostoru Šablon:Tmath i njihovo lokalno ponašanje je isto. Međutim, globalna topološka struktura glatke mnogostrukosti se snažno manifestuje u tome kakvu vrstu globalnih vektorskih polja ona može podržati, a tokovi vektorskih polja na glatkim mnogostrukostima su zaista važan alat u diferencijalnoj topologiji. Većina studija dinamičkih sistema provodi se na glatkim mnogostrukostima, koje se u primjenama smatraju "parametarskim prostorima".

Formalno: neka ${\mathcal {M}}$ bude diferencijabilna mnogostrukost. Neka $\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}$ označava tangentni prostor tačke $p\in {\mathcal {M}}.$ Let $\mathrm {T} {\mathcal {M}}$ biti će potpuna tangentna mnogostrukost; to jest, $\mathrm {T} {\mathcal {M}}=\cup _{p\in {\mathcal {M}}}\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}.$ Let $$f:\mathbb {R} \times {\mathcal {M}}\to \mathrm {T} {\mathcal {M}}$$ biti vremenski zavisno vektorsko polje na <mathcal{M}; to jest, f je glatko preslikavanje takvo da za svako $t\in \mathbb {R}$ i $p\in {\mathcal {M}}$, neko ima $f(t,p)\in \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}};$ to jest, preslikavanje $x\mapsto f(t,x)$ preslikava svaku tačku na element njenog vlastitog tangentnog prostora. Za odgovarajući interval $I\subseteq \mathbb {R}$ koji sadrži 0, tok f je funkcija $$\phi :I\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}</mathtozadovoljava<mathdisplay='block'>{\begin{aligned}\phi (0,x_{0})&=x_{0}&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=t_{0}}\phi (t,x_{0})&=f(t_{0},\phi (t_{0},x_{0}))&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}},t_{0}\in I\end{aligned}}$$

Rješenja toplotne jednačine

Neka jw Ω subdomen (vezan ili ) od Šablon:Tmath (sa n integerom). Označimo Γ njegovu granicu (pretpostavlja se glatku). Razmotrite sljedeću toplotnu jednačinu na Ω × (0, T), for T > 0,

${\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}$

sa sljedećim uslovom početne vrijednosti u(0) = u⁰ in Ω .

Jednačin u = 0 NA Γ × (0, T) odgovara homogenom Dirichletovom graničnom uvjetu. Matematička postavka za ovaj problem može biti polugrupni pristup. Da bismo koristili ovaj alat, uvodimo neograničeni operator Δ_D definirano na $L^{2}(\Omega )$ njegovim domenom

$D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$

(pogledajmo klasične Sobolevljeva prostora sa $H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )$ and

$H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}$

je zatvaranje beskonačno diferencijabilnih funkcija s kompaktnim nosačem u Ω za $H^{1}(\Omega )-$norm).

Za bilo koji $v\in D(\Delta _{D})$, imamo

$\Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.$

Sa ovim operatorom, jednačina toplote postaje $u'(t)=\Delta _{D}u(t)$ and u(0) = u⁰. Dakle, protok koji odgovara ovoj jednačini je (vidi gornje oznake)

$\varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0},$

gdje exp(tΔ_D) je (analitička) polugrupa generirana od strane Δ_D.

Rješenja talasne jednačine

Ponovo, neka je Ω poddomen (ograničen ili ne) od Šablon:Tmath (gdje je n cijeli broj). Označavamo sa Γ njegovu granicu (pretpostavlja se da je glatka). Razmotrimo sljedeću talasnu jednačinu na $\Omega \times (0,T)$ (za T > 0),

${\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}$

sa sljedećim početnim uslovom u(0) = u^1,0 u Ω i $u_{t}(0)=u^{2,0}{\mbox{ in }}\Omega .$

Koristeći isti polugrupni pristup kao u slučaju gornje toplotne jednačine, zapisujemo talasnu jednačinu kao parcijalnu diferencijalnu jednačinu prvog reda u vremenu, uvođenjem sljedećeg neograničenog operatora,

${\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)$

sa domenom $D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )$ on $H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )$ (the operator Δ_D je definirano u prethodnom primjeru). Uvodimo vektore kolone:$U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)$ (gdje $u^{1}=u$ i $u^{2}=u_{t}$) i

$U^{0}=\left({\begin{array}{c}u^{1,0}\\u^{2,0}\end{array}}\right).$

S ovim pojmovima, talasna jednačina postaje $U'(t)={\mathcal {A}}U(t)$ and U(0) = U⁰.

Dakle, tok koji odgovara ovoj jednačini je:$\varphi (U^{0},t)={\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}U^{0}$ gdje je ${\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}$ (unitarna) polugrupa generirana od strane ${\mathcal {A}}.$

Bernoullijev tok

Ergodički dinamički sistemi, odnosno sistemi koji pokazuju slučajnost, također pokazuju tokove. Najslavniji od njih je možda Bernoullijev tok. Ornsteinova teorema izomorfizma tvrdi da, za bilo koju datu entropiju H, postoji tok φ(x, t), nazvan Bernoullijev tok, takav da tok u trenutku t = 1, tj. φ(x, 1), je Bernoullijev pomak.

Nadalje, ovaj tok je jedinstven, do konstantnog ponovnog skaliranja vremena. To jest, ako ψ(x, t), je drugi tok sa istom entropijom, tada ψ(x, t) = φ(x, t), za neku konstantu c. Pojam jedinstvenosti i izomorfizma ovdje je pojam izomorfizma dinamičkih sistema. Mnogi dinamički sistemi, uključujući Sinaijeve bilijare i Anosovljev tok, izomorfni su Bernoullijevim pomjeranjima.

Također pogledajte

• Abelova jednačina
• Iterirana funkcija
• Schröderova jednačina
• Beskonačne kompozicije analitičkih funkcija

Reference

• D.V. Anosov (2001), "Continuous flow", u Hazewinkel, Michiel (ured.), Matematička enciklopedija, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• D.V. Anosov (2001), "Measureable flow", u Hazewinkel, Michiel (ured.), Matematička enciklopedija, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• D.V. Anosov (2001), "Special flow", u Hazewinkel, Michiel (ured.), Matematička enciklopedija, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Šablon:PlanetMath attribution