Trougaoni brojevi

Brojevi koji se mogu poredati u kompaktni trougaoni obrazac nazivaju se trougaoni brojevi.

Trougaoni brojevi formirani su parcijalnim zbirom niza $1+2+3+4+5+6+7......+n.$

${\begin{alignedat}{2}&T_{1}=1\\&T_{2}=1+2=3\\&T_{3}=1+2+3=6\\&T_{4}=1+2+3+4=10\\&..\\&T_{n}=n*(n+1)/2\\\end{alignedat}}$

gdje je n bilo koji prirodan broj

Drugim riječima, trougaoni brojevi čine niz $1,3,6,10,15,21,28.....$

Jata ptica često lete u ovoj trougaonoj formaciji. Čak i nekoliko aviona kada lete zajedno čine ovu formaciju. Osobine takvih brojeva prvi su proučavali starogrčki matematičari, posebno pitagorejci. Poznata je priča o matematičaru Carlu Friedrichu Gaußu:

"Učitelj je zamolio sve u razredu da nađu zbir svih brojeva od 1 do 100. Na opće iznenađenje, Gauß je odmah ustao s odgovorom 5050. Nastavnik ga je pitao kako je to urađeno. Gauß je objasnio da je, umjesto da sabere sve brojeve od 1 do 100, sabrao prvi i posljednji član, tj.

$1+100=101$

zatim dodao drugi i pretposljednji član

$2+99=101...$

Svaki par je 101 i postoji 50 takvih parova, tako da je $101*50=5050$ odgovor. Dakle, zbir brojeva od 1 do n iznosi

$(n/2)*(n+1)$

gdje je n/2 broj parova i n + 1 zbir svakog para.

Ovo je poznata formula za n-ti trougaoni broj.

•     Zbir dva uzastopna trougaona broja uvijek je kvadrat broja

${\begin{alignedat}{2}&T_{1}+T_{2}=1+3=4=2^{2}\\&T_{2}+T_{3}=3+6=9=3^{2}\\\end{alignedat}}$

$T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}$

$T_{n}+T_{n+1}={\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}={\frac {(n+1))(n+n+2}{2}}={\frac {2(n+1))(n+1}{2}}=(n+1)^{2}$

·       Ako je T trougaoni broj, onda je $9*T+1$ također trougaoni broj

${\begin{alignedat}{2}&9*T_{1}+1=9*1+1=10=T_{4}\\&9*T_{2}+1=9*3+1=28=T_{7}\\\end{alignedat}}$

•  Trougaoni broj se nikada ne može završiti na 2, 4, 7 ili 9
•  Ako je T trougaoni broj, onda je $8*T+1$ uvijek savršen kvadrat

${\begin{alignedat}{2}&8*T1+1=8*1+1=9=3^{2}\\&8*T_{2}+1=8*3+1=25=5^{2}\\\end{alignedat}}$

•   Digitalni korijen (tj. krajnji zbir cifara dok se ne dobije jedna cifra) trougaonih brojeva je uvijek 1,3,6 ili 9.
• Zbir n uzastopnih kkubova brojeva počevši od 1 jednak je kvadratu n-tog trougaonog broja

 ${\begin{alignedat}{2}&T_{n}^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}\\&T_{4}^{2}=10^{2}=100=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}\\&T_{5}^{2}=15^{2}=225=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}\\\end{alignedat}}$

•   Trougaoni broj veći od 1 nikada ne može biti kub, četvrta ili peta potencija.
•   Ne postoje četiri različita trougaona broja u aritmetičkoj progresiji.
• Ne postoje četiri različita trougaona broja u geometrijskoj progresiji.
•   Zbir kvadrata dva uzastopna trougaona broja je takođe trougaoni broj.

$T_{1}^{2}+T_{2}^{2}=1^{2}+3^{2}=10=T_{4}$

$T_{2}^{2}+T_{3}^{2}=3^{2}+6^{2}=45=T_{9}$

$T_{3}^{2}+T_{4}^{2}=6^{2}+10^{2}=136=T_{1}6$...

$T_{n-1}^{2}+T_{n}^{2}=T_{n^{2}}$

• Svi savršeni brojevi su trougaoni brojevi.

Kvadrat trougaonih  brojeva 1 i 6 proizvodi trougaone brojeve 1 i 36.

$T_{2}^{2}=1*1=1=T_{1}$

$T_{3}^{2}=6*6=36=T_{8}$

• Brojevi u nizu 1, 11, 111, 1111, 11111,...   su svi trougaoni brojevi u bazi 9.
• Jedini trougaoni broj koji je takođe prost je 3.
• Neki od mnogih trougaonih brojeva, koji su također palindromski (tj. čitaju isto naprijed i nazad) su ${\begin{alignedat}{2}&1,3,6,55,66,171,595,666,3003,\\&5995,8778,15051,66066,617716,828828,1269621,1680861,\\&3544453,5073705,5676765,6295926,351335153,61477416,178727871,\\&1264114621,1634004361\\\end{alignedat}}$

• Oni se mogu nazvati palindromskim trougaonim brojevima. Postoji 28 palindromskih trougaonih brojeva manjih od 10¹⁰. Najveći poznati palindromski trougaoni broj koji sadrži samo neparne cifre

T_32850970 = 539593131395935

• Najveći poznati palindromski trougaoni broj koji sadrži samo parne cifre

T_128127032 = 820826822862802

• Reverzibilni trougaoni brojevi: Neki od mnogih trougaoni h brojeva, čiji su preokreti takođe trougaoni brojevi su:

${\begin{alignedat}{2}&1,3,6,10,55,66,120,153,171,\\&190,300,351,595,630,666,820,\\&3003,5995,8778,15051,17578,\\&66066,87571,156520,180300,185745,\\&547581,557040,\\&617716,678030,828828,1269621,1461195,1680861,\\&1851850,3544453,5073705,\\&5676765,5911641,6056940,6295926,12145056,\\&12517506,16678200,\\&35133153,56440000,60571521,61477416,\\&65054121,157433640,178727871,\\&188267310,304119453,354911403,1261250200,\\&1264114621,1382301910,\\&1634004361,1775275491,1945725771\\\end{alignedat}}$

Oni se mogu nazvati reverzibilnim trougaonim brojevima.

• Postoji beskonačno mnogo trougaonih brojeva, koji su također kvadrati kao što je dato nizom

$1,36,1225,41616,1413721,48024900,1631432881,55420693056.$

Ovi kvadrati mogu se nazvati trougaonim brojevima; n-ti kvadratni trougaoni broj K_n lahko se može dobiti iz rekurzivne formule

K_n  = 34 *K_(n-1)  - K__(n-2)+ 2

Za   K₁  = 1 i   K₂= 36 mogu se dobiti svi ostali uzastopni kvadratni trougaoni brojevi,

K₃  = 34 * K₂ -K₁  + 2 = 34 * 36 -1 + 2 = 1225

K₄  = 34 *K₃  - K₂  + 2 = 34 * 1225 - 36 + 2 = 41616

Sljedeća nerekurzivna formula također daje n-ti kvadratni trougaoni broj u smislu varijable n

$K_{n}=[\{(1+{\sqrt {2}})^{2n}+(1-{\sqrt {2}})^{2n}\}/4{\sqrt {2}}]^{2}$

·       Zanimljivo je napomenuti da je digitalni korijen svih kvadratnih trougaonih brojeva, tj. 36, 41616, 48024900, 55420693056 .., uvijek 9 i digitalni korijen svih neparnih kvadratnih t trougaonih brojeva, tj. 1, 1225, 1413831 ... je uvijek 1.

• Kvadratni trougaoni brojevi nikada ne mogu završiti na 2, 3, 4, 7, 8 ili 9. Postoje parovi trougaonih brojeva tako da su zbir i razlika brojeva u svakom paru također trougaoni brojevi, npr. (15, 21), (105, 171), (378, 703), (780, 990), (1485, 4186), (2145, 3741), (5460, 6786), (7875, 8778)...

21 + 15 = 36 = T₈ : 21 - 15 = 6 = T₃

171 + 105 = 276 = T₂₃ : 171 - 105 = 66 = T₁₁

703 + 378 = 1081 = T₄₆: 703 - 378 = 325 = T₂₅

Postoji beskonačno mnogo trougaonih brojeva koji su istovremeno zbir, razlika i proizvod dva trougaona broja, na primjer:

T₅₅ = T₁₀ + T₅₄ = T₁₅₄₀ - T₁₅₃₉ = T₇ * T₁₀

T₇₅ = T₂₉ + T₆₉ = T₇₇ - T₁₇ = T₅ * T₁₉

Postoje neki trougaoni brojevi koji su proizvod tri uzastopna broja.  210 = 5*6*7

Postoji samo 6 takvih trougaonih  brojeva, od kojih je najveći 258474216 kao što je prikazano ispod:

1 * 2 * 3 = 6 = T₃

4 * 5 * 6 = 120 = T₁₅

5 * 6 * 7 = 210 = T₂₀

9 * 10 * 11 = 990 = T₄₄

56 * 57 * 58 = 185136 = T₆₀₈

636 * 637 * 638 = 258474216 = T₂₂₇₃₆

· Trougaoni  broj 120 je proizvod tri, četiri i pet uzastopnih brojeva.

4 * 5 * 6 = 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120

Nijedan drugi trougaoni broj nije poznat kao proizvod četiri ili više uzastopnih brojeva.

• Postoji beskonačno mnogo trougaonih brojeva koji su proizvod dva uzastopna broja

2 * 3 = 6 = T₃

14 * 15 = 210 = T₂₀

84 * 85 = 7 140 = T₁₁₉

492 * 493 = 242 556 = T₆₉₆

2 870 * 2 871 = 8 239 770 = T₄₀₅₉

16 730 * 16 731 = 279 909 630 = T₂₃₆₆₀

97 512 * 97 513 = 9 508 687 656 = T₁₃₇₉₀₃

568 344 * 568 345 = 323 015 470 680 = T₈₀₃₇₆₀

3 312 554 * 3 312 555 = 10 973 017  315 470 = T_4684659

19 306 982 * 19 306 983 = 372 759 573 255 306 = T_27304196

• Trougaoni brojevi koji su proizvod dvaju prostih brojeva mogu se nazvati trougaoni poluprosti brojevima

6 je trougaoni poluprosti broj.

Neki primjeri trougaonih poluprostih brojeva su: 1

0, 15, 21, 55, 91, 253, 703, 1081, 1711, 1891, 2701, 3403, 5671, 12403, 13861, 15931, 18721, 25651, 34453, 38503, 49141, 60031, 64261, 73153, 79003, 88831, 104653, 108811, 114481, 126253, 146611, 158203, 171991, 188191, 218791, 226801, 258121, 269011, 286903, 351541 ,371953, 385003, 392941, 482653, 497503

2 * 3 = 6 = T₃

3 * 5 = 15 = T₅

3 * 7 = 21 = T₆

5 * 11 = 55 = T₁₀

7 * 13 = 91 = T₁₃

11 * 23 = 253 = T₂₂

19 * 37 = 703 = T₃₇

Harshad trougaoni broj se može definisati kao trougaoni  brojevi koji su djeljivi zbirom njihovih cifara.

$1128\rightarrow 1+1+2+8=12\rightarrow 1128/12=94$

1128 je Harshad  trougaoni broj.

Drugi primjeri su:

1, 3, 6, 10, 21, 36, 45, 120, 153, 171, 190, 210, 300, 351, 378, 465, 630, 666, 780, 820, 990, 11, 15, 990, 11, 12 1540, 1596, 1770, 2016, 2080, 2556, 2628, 2850, 2926, 3160, 3240, 3321, 3486, 3570, 4005, 4405, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 65, 5778, 5886, 7140, 7260, 8001, 8911, 9180, 10011, 10296, 10440, 11175, 11476, 11628, 12720, 13041, 13203, 14196, 14706, 15, 15, 15, 15 16290, 16653, 17020, 17205, 17766, 17955, 18145, 18528, 20100, 21321, 21528, 21736, 21945, 22155, 23220, 23436, 24090, 24310, 24976, 25200, 28662, 28662, 28662 40, 33930, 35245, 36585, 37128, 39060, 40470, 41328, 41616, 43365, 43956, 45150, 46360, 51040, 51360, 51681, 52326, 52650, 53956, 56280, 56616, 61763, 61763, 61763 96, 69006, 70125, 70500, 72010, 73536, 73920, 76636, 78210, 79401, 79800, 80200, 81810, 88410, 89676, 90100, 93096, 93528, 97020, 100128, 101025, 10101

·       Ako ponovite proces sabiranja kvadrata decimalnih cifara broja i ako se proces završi sa 1, tada se originalni broj naziva sretnim brojem.

$7\rightarrow 49\rightarrow 97\rightarrow 130->10->1$

• Sretan  trougaoni broj je definisan kao trokutasti broj koji je ujedno i sretan broj.
• Uzmite  u obzir trougaoni broj 946, gdje je $946\rightarrow 133\rightarrow 19\rightarrow 82\rightarrow 68\rightarrow 100\rightarrow 1$

tj 946 je sretan trougaoni broj.

primjeri sretnih trougaonih brojeva su:

1, 10, 28, 91, 190, 496, 820, 946, 1128, 1275, 2080, 2211, 2485, 3321, 4278, 8128, 8256, 8778, 17, 19, 19, 19 2880, 13203, 13366, 13530, 15753, 16471, 17205, 17578, 20910, 21115, 21321, 22791, 24753, 25651, 27261, 29890, 301625, 301625, 301625 46, 41328, 43660, 43956, 44253, 46360, 47586, 48205, 50721, 53301, 53956, 54615, 55278, 56280, 56953, 58311, 61425, 62128, 66430, 69378, 69751, 701625, 70165 03, 80200, 81810, 82621, 84666, 87571, 90100, 90951, 93961, 99681, 100128, 101025, 102831, 103285, 105570, 107416, 110215, 117370, 119316, 122760, 122760, 63, 12, 32 60, 129286, 130305

• Jedini Fibonačijevi brojevi koji su takođe trougaoni su 1, 3, 21 i 55.
• Jedini trougaoni brojevi koji su takođe repdigitalni su 55, 66 i 666.
• 3 je jedini trougaoni broj koji je takođe Fermatov broj.
• Svaki heksagonalni broj je trougaoni broj.
• Svaki petougaoni broj je jedna trećina trougaonog broja.
• Ako je M Mersennov prost onda je Mti trougaoni broj savršen broj.
• Zbir recipročnih trougaonih brojeva konvergira na 2:

$1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+1/28+1/36+1/45+...=2$

• Postoji mnogo parova trougaonih brojeva T_a i T_b (gdje je Ta > 1 i T_b > 1 i T_a nije jednako T_b) tako da je njihov proizvod T_a*T_b savršen kvadrat.

T₂ * T₂₄ = 3 * 300 = 900 = 30²

T₂ * T₂₄₂ = 3 * 29403 = 88209 = 297²

T₃ * T₄₈ = 6 * 1176 = 7056 = 84²

T₆ * T₁₆₈ = 21 * 14196 = 298116 = 546²

T₁₁ * T₅₂₈ = 66 * 139656 = 9217296 = 3036²

T₁₂ * T₆₂₄ = 78 * 195000 = 15210000 = 3900²

• Proizvod T_a*T_b je savršen kvadrat za formulu (2a + 1)² - 1 = b.

Ovo proizvodi savršen kvadrat za svaki  trougaoni indeks, a time i svaki trougaoni broj

• Svaki pozitivan cijeli broj može se napisati kao zbir najviše tri trougaona broja.
• Svaki 4. stepen veći od 1 je zbir dva trougaona broja.

2⁴ = 16 = T₃ + T₄ = T₁ + T₅

3⁴ = 81 = T₈ + T₉ = T₅ + T₁₁

4⁴ = 256 = T₁₅ + T₁₆ = T₁₁ + T₁₉

5⁴ = 625 = T₂₄ + T₂₅ = T₁₉ + T₂₉

6⁴ = 1296 = T₃₅ + T₃₆ = T₂₉ + T₄₁

7⁴ = 2401 = T₄₈ + T₄₉ = T₄₁ + T₅₅

Posmatrajte obrasce formirane iznad

n⁴ = T_a + T_b = T_c + T_d    tada je

a = n² - 1, b = n², c = a – n  ili  n² - n - 1 i  d = a + b - c - 1 ili  n² + n – 1

·       Za bilo koji prirodan broj n, broj

1 + 9 + 9² + 9³ + ... + 9ⁿ   je trougaoni broj

1 = T₁

1 + 9 = T₄

1 + 9 + 9² = T₁₃

1 + 9 + 9² + 9³ = T₄₀

1 + 9 + 9² + 9³ + 9⁴ = T₁₂₁

9⁰ + 9¹ + 9² + 9³ + 9⁴ = T₁₂₁ = T₃⁰ _{+ 3}¹ _{+ 3}² _{+ 3}³ _{+ 3}⁴:

·        T₁ + T₂ + T₃= T₄

T₅ + T₆ + T₇ + T₈ = T₉ + T₁₀

T₁₁ + T₁₂ + T₁₃ + T₁₄ + T₁₅= T₁₆ + T₁₇ + T₁₈

T₁₉ + T₂₀ + T₂₁ + T₂₂ + T₂₃ + T₂₄ = T₂₅ + T₂₆ + T₂₇ + T₂₈

·        T_n² = T_n + T_n-1 * T_n+1

T_n²_-1 = 2*T_n * T_n-1

(2*a + 1)² * T_n + T_a = T_{(2*a + 1)* n + a} . Trougaoni brojevi se pojavljuju u Pascalovom trouglu. Treća  dijagonala Pascalovog trougla, daje sve trougaone brojeve kao na  slici

•  Trougaoni brojevi se pojavljuju u Pascalovom trouglu. Treća  dijagonala Pascalovog trougla, daje sve trougaone brojeve
• Jedini poznati primjer Pitagorinog trougla (a,b,c) gdje su a, b, c trougaoni brojevi je (8778, 10296, 13530)

8778² + 10296² = 13530²

(T₁₃₂)² + (T₁₄₃)² = (T₁₆₄)²

• Jedini poznati primjeri Pitagorinog trougla za koji su i obim i  površina trougaoni brojevi su

(3312, 14091, 14475) - > O = 31878 = T₂₅₂    i P = 23334696 = T₆₈₃₁

(3405996, 8013265, 8707079) - > O = 20126340 = T₆₃₄₄ i P = 13646574268470 = T_5224284

Pitagorine trojke  koje su sve generisane Pitagorine trojke (5, 12, 13) dodavanjem prefiksa(cifre)  trougaonim brojevima

15, 112, 113

25, 312, 313

35, 612, 613

45, 1012, 1013

55, 1512, 1513 ...

• Ovo se može generalizirati na sljedeći način (gdje je 5 spojeno sa n, a 12, 13 su spojeni sa n-tim trougaonim brojevima

[n5]² + [T_n12]² = [T_n13]²

•  Postoji mnogo skupova trougaonih brojeva koji zadovoljavaju obrazac

T₈ + T₃₅ + T₂₃ = T₉ + T₂₁ + T₃₆

8  +  35   +  23 =  9  +  21  +  36

• Obrazac  beskonačnih trougaonih brojeva

T₁₀ = T₅₊₅ = 55

T₁₀₀ = T₅₀₊₅₀ = 5050

T₁₀₀₀ = T_500+500 = 500500

T₁₀₀₀₀ = T_5000+5000 = 50005000

T₁₀₀₀₀₀ = T_50000+50000 = 5000050000

T_1000000 = T_{500000+500000} = 500000500000    ...

• T_T5 + T_T6 = T₂₆

T_T12 + T_T14 = T₁₃₁

T_T15 + T_T42 = T₉₁₁

T_T26 + T_T34 = T₆₉₁

T_T36 + T_T55 = T₁₆₇₈

T_T42 + T_T120 = T₇₃₁₆    ...

• 13 i 136101521 su prosti brojevi formirani spajanjem prvih n trougaonih brojeva.
• 136 je jedini poznati trougaoni broj nastao spajanjem prvih n trougaonih brojeva. 31, 631, 10631, 55453628211510631, 786655453628211510631 i 10591786655453628211510631 su prosti brojevi formirani obrnutim spajanjem prvog trougaonog broja
• 28 je trougaoni broj i

d(28) = 6.

Broj djelitelja svih trougaonih brojeva manjih od 28 je manji od 6. Dakle, 28 je visokokompozitni trougaoni broj.

Svi visokokompozitni trougaoni brojevi ispod 5*10¹³ su:

1, 3, 6, 28, 36, 120, 300, 528, 630, 2016, 3240, 5460, 25200, 73920, 157080, 437580, 7497500, 08, 138 62160, 17907120, 76576500, 103672800, 236215980, 842161320, 3090906000, 4819214400, 7589181600, 7966312200, 13674528000, 20366564400, 49172323201, 49172323201 0, 557736444720, 666365279580, 876785263200, 1787835551040, 2427046221600, 3798207594720, 2429525 i 2429525.

• Obilni brojevi takvi da je s(n), zbir alikvota djelitelja n, veći od n nazivaju se obilni brojevi. Ako je n trougaoni broj, onda se može nazvati obilni trougaoni broj.

36 je trougaoni broj

s(36) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 = 55> 36 tj 36 je obilni trougaoni broj

Svi obilni trougaoni brojevi ispod 10⁵ su:

6,66, 78, 120 210, 276, 300, 378, 528, 630 ,666, 780 820, 990, 1128, 1176, 1326, 1540, 1596, 1770, 1830, 2016, 2080, 2346, 2556, 2628, 2850, 3160, 3240, 3486, 3570, 3828, 4095, 4278, 4560, 4656, 4950, 5460, 5778, 5886, 6216, 6328, 6786, 7140, 7260 ,7626, 7875, 8256, 8646, 8778, 9180, 9730, 9870, 10296, 10440, 0878, 11628, 12090, 12246, 12720, 12880, 13530, 14028, 14196, 14706, 15400, 15576, 16110, 16290, 16836, 17020, 17766, 17955, 18336, 18528, 19110, 19900, 20100, 20706, 20910, 21528, 21736, 21945, 22578 ,23220, 23436, 24090, 24310, 24976, 25200, 25878,26106, 26565, 26796, 27966, 28680, 28920, 29646, 29890, 30628, 30876, 31626, 31878, 32640, 33670, 33930, 34716, 34980, 35778, 37128, 37950, 38226, 39060, 39340,  40470,41328, 41616,  42486, 43660, 43956, 44850, 45150 , 46056, 46360, 47586, 48516, 48828, 49770, 51040, 51360, 52326, 52650, 53628, 53956, 54285, 55278, 56280, 56616, 57630, 57970, 58996, 59340, 60378,60726, 61425, 61776, 62128,63546, 64620, 64980, 66066, 66430, 67896, 69006, 69378, 70500,72390, 73536, 73920, 75078, 76636, 77028, 78210, 78606, 79800, 80200, 81810, 82215, 83028, 83436, 84666,86320, 86736, 87990,88410, 89676,90100, 91806,  93096, 93528, 94830, 96580,97020, 98346, 98790

·        Brojevi takvi da je s(n), zbir alikvotnih djelitelja od n, manji od n nazivaju se manjkavi brojevi. Ako je n trokutasti broj onda se može nazvati nedostatnim trokutastim brojem. Na primjer, 21 je trougaoni broj i s(21) = 1 + 3 + 7 = 11, što je manje od 21. Dakle, 21 je manjkav trougaoni broj.

Svi manjkavi trokutasti brojevi ispod 10⁵ su

1, 3, 10, 15, 21, 45, 55, 91, 105, 136, 153,171,190, 231, 253,  325, 351, 406, 435, 465, 561, 595,703, 741, 861, 903, 946,1035, 1081, 1225, 1275, 1378, 1431, 1485, 1653, 1711, 1891, 1953, 2145, 221 1, 2278, 2415, 2485, 2701, 2775, 2926, 3003, 3081, 3321, 3403, 3655, 3741, 3916, 4005, 4186, 4371, 4465, 4753, 4851, 5050, 5151,5253, 5356, 5565,5671, 5995, 6105, 6441, 6555, 6670, 6903, 7021, 7381, 7503, 7750, 8001, 8385, 8515, 8911, 9045, 9316, 9453, 9591, 10011, 10153, 10585, 10731, 11026, 11175, 11325, 11476, 11781, 11935, 12403, 12561, 13041, 13203, 13366, 13695, 13861, 14365, 14535, 14878, 15051, 15225, 15753, 15931, 16471, 16653, 17205, 17391, 17578, 18145, 18721, 18915, 19306, 19503, 19701, 20301, 20503, 21115, 21321, 22155, 22366, 22791, 23005, 23653, 23871,24531, 24753, 25425, 25651, 26335,27028,27261, 27495,27730,28203, 28441, 29161, 29403,30135, 30381,31125,31375, 32131, 32385, 32896, 33153, 33411, 34191, 34453, 35245, 35511, 36046, 36315, 36585, 36856, 37401, 37675, 38503, 38781, 39621, 39903, 40186, 40755, 41041, 41905, 42195, 42778, 43071, 43365, 44253,44551, 45451, 45753,46665,46971,47278, 47895, 48205, 49141, 49455, 50086, 50403, 50721, 51681, 52003, 52975, 53301, 54615, 54946, 55611, 55945, 56953, 57291, 58311, 58653, 59685, 60031, 61075, 62481, 62835, 63190, 63903, 64261, 65341, 65703, 66795, 67161, 67528,68265,68635,69751,70125,70876,71253,71631,72010,72771,73153,74305,74691, 75466, 75855, 76245, 77421, 77815, 79003, 79401, 80601, 81003, 81406, 82621, 83845, 84255, 85078, 85491, 85905, 87153, 87571, 88831, 89253, 90525, 90951,91378, 92235, 92665, 93961, 94395, 95266, 95703, 96141, 97461, 97903, 99235 , 99681

• Trougaoni  broj 1061444835  zbir trougaonih brojeva 10614 i 44835. Dakle, zbir dva trougaona broja jednak je broju koji nastaje spajanjem indeksa ova dva trougaona broja

T₁₀₆₁₄ + T₄₄₈₃₅ = 1061444835

T₉₀ + T₄₁₅ = 90415

T₅₈₅ + T₉₁₀ = 585910

T₁₂₀ + T₁₅₄₅ = 1201545

T₁₅₀ + T₁₇₂₆ = 1501726

T₂₄₄ + T₂₁₉₆ = 2442196

T₇₀₀ + T₃₆₇₆ = 7003676

T₇₆₉ + T₃₈₄₆ = 7693846

T₁₄₇₄ + T₅₂₂₆ = 14745226

T₂₈₂₉ + T₆₉₇₀ = 28296970

T₃₀₃₀ + T₇₁₇₁ = 30307171    

·        T₆ = 21

T₆₆ = 2211

T₆₆₆ = 222111

T₆₆₆₆ = 22221111

·        T₃ = 6

T₃₃ = 561

T₃₃₃ = 55611

T₃₃₃₃ = 5556111

• Niz ${\sqrt {T}}$ koji su cijeli brojevi je

${\sqrt {T_{1}}},{\sqrt {T_{8}}}{\sqrt {T_{49}}},{\sqrt {T_{288}}},{\sqrt {T_{1681}}},{\sqrt {T_{9800}}},...$

Proizvod bilo koja dva uzastopna broja u gornjem nizu je trougaoni broj, koji je proizvod dva uzastopna broja

${\sqrt {T_{1}}}*{\sqrt {T_{8}}}=6={\sqrt {T_{3}}}=2*3$

${\sqrt {T_{8}}}*{\sqrt {2}}T_{49}=210={\sqrt {T_{20}}}=14*15$

${\sqrt {T_{49}}}*{\sqrt {T_{288}}}=7140={\sqrt {T_{119}}}=84*85$

${\sqrt {T_{288}}}*{\sqrt {T_{1681}}}=242556={\sqrt {T_{696}}}=492*493$...

• Postoji beskonačan broj parova (a,b) pozitivnih cijelih brojeva tako da je  2 * T_a=T_b    b gdje su a i b cijeli brojevi, a Tn je n-ti trougaoni broj

2 * T₂ = T₃ = 6

2 * T₁₄ = T₂₀ = 210

2 * T₈₄ = T₁₁₉ = 7140

2 * T₄₉₂ = T₆₉₆ = 242556

2 * T₂₈₇₀ = T₄₀₅₉ = 8239770

2 * T₁₆₇₃₀ = T₂₃₆₆₀ = 279909630

2 * T₉₇₅₁₂ = T₁₃₇₉₀₃ = 9508687656

2 * T₅₆₈₃₄₄ = T₈₀₃₇₆₀ = 323015470680

2 * T_3312554 = T_4684659 = 10973017315470

2 * T_19306982 = T_27304196 = 372759573255306

• Za a₀ = 0 i b₀ = 0, sljedeće jednačine mogu dati dalje vrijednosti a i b

a_n=3 * a_n-1 + 2 * b_n-1 + 2

b_n=4 * a_n-1 + 3 * b_n-1 + 3

• Postoji beskonačan broj parova (a,b) pozitivnih cijelih brojeva tako da je

3 * Ta=Tb

gdje su a i b cijeli brojevi, a Tn je n-ti trougaoni broj

3 * T₁ = T₂ = 3

3 * T₅ = T₉ = 45

3 * T₂₀ = T₃₅ = 630

3 * T₇₆ = T₁₃₂ = 8778

3 * T₂₈₅ = T₄₉₄ = 122265

3 * T₁₀₆₅ = T₁₈₄₅ = 1702935

3 * T₃₉₇₆ = T₆₈₈₇ = 23718828

3 * T₁₄₈₄₀ = T₂₅₇₀₄ = 330360660

3 * T₅₅₃₈₅ = T₉₅₉₃₀ = 4601330415

3 * T₂₀₆₇₀₁ = T₃₅₈₀₁₇ = 64088265153

• Kubovi iz trougaonih  brojeva

6 * ( T₁ + T₂ + T₃) + 4 = 4³

6 * ( T₁ + T₂ + T₃ + T₄) + 5 = 5³

6 * ( T₁ + T₂ + T₃ + T₄ + T₅) + 6 = 6³

6 * ( T₁ + T₂ + T₃ + T₄ + T₅ + T₆) + 7 = 7³ ...

6 * ( T₁ + T₂ + T₃ + T₄ + T₅ + ...... + T_n-1) + n = n³

•  Kvadrat trougaonog broja oduzet od kvadrata sljedećeg trougaonog broja je kub

T₂² - T₁² = 2³

T₃² - T₂² = 3³

T₄² - T₃² = 4³

T₅² - T₄² = 5³

T_n² - T_n-1² = n³

• Zbir trougaonih brojeva na kvadrat u Pascalovom trouglu
• trougaoni uzorak brojeva