Uređenost skupa racionalnih brojeva

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

Skup +Q je skup pozitivnih racionalnih brojeva

  • Zatvorenost u odnosu na sabiranje i množenje ==

(a,b) + (c,d) i (a,b)(c,d) su iz +Q

  • trihotonomija

(a, b) = (0,1) ili (a,b) iz +Q ili je -(a,b) iz +Q

Definicija 1

Uređeno polje (F,+ ,x) zove se Arhimedovo polje ako i samo ako za svako a,b iz +F pšostoji prirodni broj n takav da je na > b

(Q, + x) je Arhimedovo polje.


Teorma 1

Relacija biti kongruentan modulo n je relacija ekvivalencije

  • refleksivna a ≡ a ( mod n)
  • simetrija a ≡ b ( mod n) =>b ≡ a ( mod n)
  • tranzitivnost ( a ≡ b ( mod n) & b≡c( mod n) ) => a≡ c ( mod n)
Definicija 1

Skup koji dobijamo ako svaki član skupa Z pomnožimo sa n različ. od 0 označavamo sa nZ tj. nZ = (....,-3n, -2n, -n, 0, n, 2n. ....) Skup koji dobijamo ako svakom članu skups nZ dodamo r (0 < ili =r < apsolut.n) označavamo nZ +r

Teorema 2

Ako je a≡ b ( mod n) tada za svaki cio broj x važi kongruencija a +x ≡ b +x ( mod n)

Teorema 3

Ako je ac ≡ bc ( mod n) i c relativno prim prema n onda je a≡ b ( mod n)

Teorema 4

Ako je M(a,n) = 1 tada kongruencija ax ≡ b ( mod n) ima rjeđenje u skupu Z

Teorema 5

Ako su a i p relativno prim brojevi i ppozitivan prim broj onda nikoja dva ostatka , što ih dobijamo dijelećibrojeve ( proizvode) ax1, ax2......,ax (p-1) broem p nisu jednaka i ni jedan od njih nije nula. Ti ostaci čine skup P = ( 1,2,......( p -1) ) Korolar Za svaki a ib iz P = ( 1,2,......( p -1) ) postoji jedan i samo jedan x iz P tako da je ax≡b ( mod p)

Teorma 6 (Fermatov teorem)

Ako je p>0 prim broj tada za svaki pozitivan cio broj a vrijedi a na p≡ a

Korolar a na p≡a (mod p) za svako a iz Z

Teorema 7 (Eulerov teorem);


Ako je n pozitivan cio broj i a cio broj za koji važi M (a,n)== 1 tada je a na q(n) ≡1 (mod n) gdje je q (n) broj svih pozitivnih cijelih brojeva manjh od n i relativno prim sa n.