Vièteova formula

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

U matematici, Vièteova formula, koja nosi svoje ime po francuskom matematičaru François Vièteu (1540-1603), je reprezentacija matematičke konstante π u obliku beskonačnog proizvoda:

Izraz sa desne strane jednakosti treba tumačiti kao graničnu vrijednost

gdje je sa početnim uslovom .

Poslije sređivanja moguće je dobiti formulu za π u obliku

.

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Korištenjem formule za sinus dvostrukog ugla

najprije treba dokazati jednakost

koja važi za sve pozitivne cijele brojeve n. Ako se uzme da je x=y/2n i ako se obe strane jednakosti podijele sa cos(y/2), biće

Ponovnom upotrebom formule za sinus dvostrukog ugla sin y=2sin(y/2)cos(y/2) dobija se

Ako zamijenimo y sa π, dobijamo jednakost

Ostaje da se faktori sa desne strane ove jednakosti povežu sa odgovarajućim an. Ako se sada upotrijebi formula za kosinus polovine ugla,

dobija se da zadovoljava rekurzivnu vezu sa početnim uslovom . Zato je an=bn za sve pozitivne cijele brojeve n.

Vièteova formula se zatim dobija kad se uzme da . Ovde treba primijetiti da je

kao posljedica činjenice da je (ovo slijedi prema l'Hôpitalovom pravilu).

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]