Vièteova formula

Ovaj članak ne govori o temi Vièteove formule za simetrične polinome.

U matematici, Vièteova formula, koja nosi svoje ime po francuskom matematičaru François Vièteu (1540-1603), je reprezentacija matematičke konstante π u obliku beskonačnog proizvoda:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$

Izraz sa desne strane jednakosti treba tumačiti kao graničnu vrijednost

$\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}={\frac {2}{\pi }}$

gdje je $a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}$ sa početnim uslovom $a_{1}={\sqrt {2}}$.

Poslije sređivanja moguće je dobiti formulu za π u obliku

$\lim _{\mathbf {n} \to \infty }2^{\mathbf {n} +1}{\sqrt {2-\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{\mathbf {n} }}}\;=\;\pi$.

Dokaz

Korištenjem formule za sinus dvostrukog ugla

$\,\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$

najprije treba dokazati jednakost

${{\sin(2^{n}x)} \over {2^{n}\sin x}}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos(2^{i}x)$

koja važi za sve pozitivne cijele brojeve n. Ako se uzme da je x=y/2ⁿ i ako se obe strane jednakosti podijele sa cos(y/2), biće

${{\sin y} \over {\cos({y \over 2})}}\cdot {1 \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).$

Ponovnom upotrebom formule za sinus dvostrukog ugla sin y=2sin(y/2)cos(y/2) dobija se

${{2\sin({y \over 2})} \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).$

Ako zamijenimo y sa π, dobijamo jednakost

${2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=2}^{n}\cos \left({\pi \over {2^{i}}}\right)\ .$

Ostaje da se faktori sa desne strane ove jednakosti povežu sa odgovarajućim a_n. Ako se sada upotrijebi formula za kosinus polovine ugla,

$2\cos(x/2)={\sqrt {2+2\cos x}},$

dobija se da $b_{i}=2\cos \left({\pi \over {2^{i+1}}}\right)$ zadovoljava rekurzivnu vezu $\,b_{i+1}={\sqrt {2+b_{i}}}$ sa početnim uslovom $b_{1}=2\cos \left({\pi \over 4}\right)={\sqrt {2}}=a_{1}$. Zato je a_n=b_n za sve pozitivne cijele brojeve n.

Vièteova formula se zatim dobija kad se uzme da $n\rightarrow \infty$. Ovde treba primijetiti da je

$\lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}={2 \over \pi }$

kao posljedica činjenice da je $\lim _{x\rightarrow 0}\,{x \over {\sin x}}=1$ (ovo slijedi prema l'Hôpitalovom pravilu).

Vanjski linkovi

• Formule za broj pi (engl.)