S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
U matematici , postoji nekoliko integrala poznatih pod naziv Dirichletov integral njemačkom matematičaru Peteru Gustavu Lejeuneu Dirichletu .
Jedan od takvih je
∫
0
∞
sin
ω
ω
d
ω
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega ={\frac {\pi }{2}}}
Ovo se može dokazati korištenjem Fourierove transformacije . Također, može se vrlo jednostavno izračunati korištenjem diferencijacijom pod znakom integrala .
Dokaz uz korištenje diferencijacije pod znakom integrala [ uredi | uredi izvor ] Prvo ćemo integral napisati kao funkciju proizvoljne konstante ,
α
{\displaystyle \alpha }
ω
{\displaystyle \omega }
Neka je
f
(
α
)
=
∫
0
∞
e
−
α
ω
sin
ω
ω
d
ω
{\displaystyle f(\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega }
Zatim trebamo naći
f
(
0
)
{\displaystyle f(0)}
d
f
d
α
=
∂
∂
α
∫
0
∞
e
−
α
ω
sin
ω
ω
d
ω
{\displaystyle {\frac {df}{d\alpha }}={\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega }
Primjenom Leinnizovog integracionog pravila ,
∂
∂
α
∫
0
∞
e
−
α
ω
sin
ω
ω
d
ω
=
∫
0
∞
∂
∂
α
e
−
α
ω
sin
ω
ω
d
ω
=
−
∫
0
∞
e
−
α
ω
sin
ω
d
ω
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial \alpha }}e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega =-\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }\sin \omega \,d\omega }
Ovaj integral može se učiniti jednostavnijim ako upotrijebimo Eulerovu formulu
e
i
ω
=
cos
ω
+
i
sin
ω
{\displaystyle e^{i\omega }=\cos \omega +i\sin \omega }
Tada
ℑ
e
i
ω
=
sin
ω
{\displaystyle \Im e^{i\omega }=\sin \omega }
ℑ
{\displaystyle \Im }
imaginarni dio .Sad integral glasi:
−
ℑ
∫
0
∞
e
−
α
ω
e
i
ω
d
ω
=
ℑ
1
−
α
+
i
=
ℑ
−
α
−
i
α
2
+
1
=
−
1
α
2
+
1
{\displaystyle -\Im \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }e^{i\omega }d\omega =\Im {\frac {1}{-\alpha +i}}=\Im {\frac {-\alpha -i}{\alpha ^{2}+1}}={\frac {-1}{\alpha ^{2}+1}}}
Tako da je,
d
f
d
α
=
−
1
α
2
+
1
{\displaystyle {\frac {df}{d\alpha }}={\frac {-1}{\alpha ^{2}+1}}}
Integracijom obe strane od
0
{\displaystyle 0}
∞
{\displaystyle \infty }
∫
0
∞
d
f
d
α
d
α
=
∫
0
∞
−
1
α
2
+
1
d
α
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {df}{d\alpha }}d\alpha =\int _{0}^{\infty }{\frac {-1}{\alpha ^{2}+1}}d\alpha }
f
(
∞
)
−
f
(
0
)
=
−
arctan
∞
+
arctan
0
{\displaystyle f(\infty )-f(0)=-\arctan \infty +\arctan 0}
f
(
0
)
=
π
2
+
f
(
∞
)
{\displaystyle f(0)={\frac {\pi }{2}}+f(\infty )}
Note that
f
(
∞
)
=
lim
α
→
∞
∫
0
∞
e
−
α
ω
sin
ω
ω
d
ω
=
0
{\displaystyle f(\infty )=\lim _{\alpha \rightarrow \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}{d\omega }=0}
Tako da je,
f
(
0
)
=
π
2
{\displaystyle f(0)={\frac {\pi }{2}}}
Tada
∫
0
∞
sin
ω
ω
d
ω
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega ={\frac {\pi }{2}}}
