Jedinična matrica

Jedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom E, a indeks koji može i ne mora stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I.

$E_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ E_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ E_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

Što se, također, može definisati i Kroeneckerovom deltom:

$E_n = (\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ ,

gdje je:

$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & , i=j\\ 0 & , i \neq j \end{matrix}\right.\quad\mbox{sa }i,j\in\{1,\ldots,n\}$

Alternativni zapisi su:

$E_{ij} = \delta_{ij}$

$E = (\delta_{ij})$

Osobine [uredi]

Množenje [uredi]

Jedna od bitnih osobina jedinične matrice E_n nekog prostora K^{n × n} jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:

$EA = AE = A, \; A \in K^{n \times n}$

Štaviše, vidi se da je matrica nad prostorom K^{n × n} komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna. Ovo ne vrijedi za prostore K^{n × m}, m ≠ n, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.

Iz ove osobine također slijedi i:

$AA^{-1} = A^{-1}A = E$

Primjer:

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$