Cotlar–Steinova lema

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, u oblasti funkcionalne analize, Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti, koja je naziv dobila po matematičarima Mischai Cotlaru i Eliasu Steinu. Može se koristiti za dobijanje informacija o operatorskoj normi operatora, koji djeluje iz jednog Hilbertovog prostora u drugi, kada se operator može razložiti u skoro ortogonalne dijelove.

Originalnu verziju ove leme (za samopridružene i međusobno komutativne operatore) dokazao je Mischa Cotlar 1955. godine, što ga je dovelo do zaključka da je Hilbertova transformacija neprekidni linearni operator u L^2, bez korištenja Fourierove transformacije.

Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti[uredi | uredi izvor]

Neka E,\,F budu dva Hilbertova prostora. Razmotrimo familiju operatora T_j, j\in\mathbb{Z}, gdje je svaki T_j neprekidni linearni operator iz E u F.

Naznačimo

a_{jk}=\Vert T_j T_k^\ast\Vert_{F\to F},
\qquad b_{jk}=\Vert T_j^\ast T_k\Vert_{E\to E}.

Familija operatora T_j:\;E\to F, j\in\mathbb{Z}, je skoro ortogonalna ako je

A=\max_{j}\sum_{k}\sqrt{a_{jk}}<\infty,
\qquad B=\max_{j}\sum_{k}\sqrt{b_{jk}}<\infty.

Cotlar-Steinova lema kaže da ako je T_j skoro ortogonalno, tada red \sum_{j\in\mathbb{Z}}T_j konvergira u topologiji jakog operatora, i da je

\Vert \sum_{j\in\mathbb{Z}}T_j\Vert_{E\to F}\le\sqrt{AB}.

Primjer[uredi | uredi izvor]

Slijedi primjer ortogonalne familije operatora. Razmotrimo matrice beskonačnih dimenzija


T=\left[
\begin{array}{cccc}
1&0&0&\vdots\\0&1&0&\vdots\\0&0&1&\vdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\ddots\end{array}
\right]

i, također


\qquad
T_1=\left[
\begin{array}{cccc}
1&0&0&\vdots\\0&0&0&\vdots\\0&0&0&\vdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\ddots\end{array}
\right],
\qquad
T_2=\left[
\begin{array}{cccc}
0&0&0&\vdots\\0&1&0&\vdots\\0&0&0&\vdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\ddots\end{array}
\right],
\qquad
T_3=\left[
\begin{array}{cccc}
0&0&0&\vdots\\0&0&0&\vdots\\0&0&1&\vdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\ddots\end{array}
\right],
\qquad
\dots.

Tada je \Vert T_j\Vert=1 za svako j, odakle slijedi da red \sum_{j\in\mathbb{N}}T_j ne konvergira u topologiji uniformnog operatora.

Ipak, pošto je \Vert T_j T_k^\ast\Vert=0 i \Vert T_j^\ast T_k\Vert=0 za j\ne k, Cotlar-Steinova lema skore ortogonalnosti govori nam da

T=\sum_{j\in\mathbb{N}}T_j

konvergira u topologiji jakog operatora, te da je ograničen sa 1.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Mischa Cotlar, A combinatorial inequality and its application to L^2 spaces, Math. Cuyana 1 (1955), 41-55
  • Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]