Cotlar–Steinova lema

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Wiki letter w.svg Ovaj članak je siroče zato što nema ili vrlo malo ima drugih članaka koji linkuju ovamo.
Molimo Vas da postavite linkove prema ovoj stranici sa srodnih članaka(23-02-2012)

U matematici, u oblasti funkcionalne analize, Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti, koja je naziv dobila po matematičarima Mischai Cotlaru i Eliasu Steinu. Može se koristiti za dobijanje informacija o operatorskoj normi operatora, koji djeluje iz jednog Hilbertovog prostora u drugi, kada se operator može razložiti u skoro ortogonalne dijelove.

Originalnu verziju ove leme (za samopridružene i međusobno komutativne operatore) dokazao je Mischa Cotlar 1955. godine, što ga je dovelo do zaključka da je Hilbertova transformacija neprekidni linearni operator u L^2, bez korištenja Fourierove transformacije.

Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti[uredi | uredi izvor]

Neka E,\,F budu dva Hilbertova prostora. Razmotrimo familiju operatora T_j, j\in\mathbb{Z}, gdje je svaki T_j neprekidni linearni operator iz E u F.

Naznačimo

a_{jk}=\Vert T_j T_k^\ast\Vert_{F\to F},
\qquad b_{jk}=\Vert T_j^\ast T_k\Vert_{E\to E}.

Familija operatora T_j:\;E\to F, j\in\mathbb{Z}, je skoro ortogonalna ako je

A=\max_{j}\sum_{k}\sqrt{a_{jk}}<\infty,
\qquad B=\max_{j}\sum_{k}\sqrt{b_{jk}}<\infty.

Cotlar-Steinova lema kaže da ako je T_j skoro ortogonalno, tada red \sum_{j\in\mathbb{Z}}T_j konvergira u topologiji jakog operatora, i da je

\Vert \sum_{j\in\mathbb{Z}}T_j\Vert_{E\to F}\le\sqrt{AB}.

Primjer[uredi | uredi izvor]

Slijedi primjer ortogonalne familije operatora. Razmotrimo matrice beskonačnih dimenzija


T=\left[
\begin{array}{cccc}
1&0&0&\vdots\\0&1&0&\vdots\\0&0&1&\vdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\ddots\end{array}
\right]

i, također


\qquad
T_1=\left[
\begin{array}{cccc}
1&0&0&\vdots\\0&0&0&\vdots\\0&0&0&\vdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\ddots\end{array}
\right],
\qquad
T_2=\left[
\begin{array}{cccc}
0&0&0&\vdots\\0&1&0&\vdots\\0&0&0&\vdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\ddots\end{array}
\right],
\qquad
T_3=\left[
\begin{array}{cccc}
0&0&0&\vdots\\0&0&0&\vdots\\0&0&1&\vdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\ddots\end{array}
\right],
\qquad
\dots.

Tada je \Vert T_j\Vert=1 za svako j, odakle slijedi da red \sum_{j\in\mathbb{N}}T_j ne konvergira u topologiji uniformnog operatora.

Ipak, pošto je \Vert T_j T_k^\ast\Vert=0 i \Vert T_j^\ast T_k\Vert=0 za j\ne k, Cotlar-Steinova lema skore ortogonalnosti govori nam da

T=\sum_{j\in\mathbb{N}}T_j

konvergira u topologiji jakog operatora, te da je ograničen sa 1.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Mischa Cotlar, A combinatorial inequality and its application to L^2 spaces, Math. Cuyana 1 (1955), 41-55
  • Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5