Dirichletovi uslovi

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.


U matematici, Dirichletovi uslovi su dovoljan uslov za realnu periodičnu funkciju f(x) da bude jednaka sumi njenog Fourierovog reda u svakoj tački gdje je f neprekidno. Štaviše, ponašanje Fourierovog reda u tačkama prekida također se određuje. Ovi uslovi dobili su naziv po matematičaru Johann Peter Gustav Lejeune Dirichletu.

Uslovi su slijedeći:

Dirichletov teorem za jednodimenzionalne Fourierove redove[uredi | uredi izvor]

Iskazali smo Dirichletov teorem pretpostavljajući da je f periodična funkcija sa periodom 2π sa proširenjem Fourierovog reda

 f(x) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty a_n e^{inx} ,

gdje je

 a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\, dx.

Analogna tvrdnja stoji, bez obzira koji je period funkcije f, ili koja je verzija proširenja Fourierovog reda izabrana (Pogledajte članak: Fourierov red).

Dirichletov teorem: Ako f zadovoljava Dirichletove uslove, tada za sve x, imamo da je red, koji je dobijem uvrštavanjem x u Fourierov red, konvergentan, te je dat sa
 \sum_{n = -\infty}^\infty a_n e^{inx} = \frac{1}{2}(f(x+) + f(x-)) ,
gdje oznake
 f(x+) = \lim_{y \to x^+} f(y)
 f(x-) = \lim_{y \to x^-} f(y)
predstavljaju desni/lijevi limes funkcije f.


Funkcija koja zadovoljava Dirichletove uslove mora imati desni i lijevi limes u svakoj tački prekida, ili funkcija mora da osciluje u toj tački, što je u suprotnosti sa uslovom o ekstremima. Primijetimo da je u svakoj tački, gdje je f neprekidna,

 \displaystyle f(x+) = f(x-) = f(x)

tako da je

 \frac{1}{2}(f(x+) + f(x-)) = f(x) .

Prema tome, Dirichletov teorem kaže da Fourierov red za funkciju f konvergira i da je jednak f ukoliko je funkcija f neprekidna.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

[icon] Ova sekcija zahtijeva proširenje.