Dirichletovi uvjeti

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
(Preusmjereno sa Dirichletovi uslovi)
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Dirichletovi uvjeti su dovoljan uvjet za realnu periodičnu funkciju f(x) da bude jednaka sumi njenog Fourierovog reda u svakoj tački gdje je f neprekidno. Štaviše, ponašanje Fourierovog reda u tačkama prekida također se određuje. Ovi uvjeti dobili su naziv po matematičaru Johannu Peteru Dirichletu.

Uvjeti su sljedeći:

Dirichletova teorema za jednodimenzionalne Fourierove redove[uredi | uredi izvor]

Iskazali smo Dirichletovu teoremu pretpostavljajući da je f periodična funkcija s periodom 2π sa proširenjem Fourierovog reda

 f(x) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty a_n e^{inx} ,

gdje je

 a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\, dx.

Analogna tvrdnja stoji, bez obzira na to koji je period funkcije f ili koja je verzija proširenja Fourierovog reda izabrana (pogledajte članak: Fourierov red).

Dirichletova teorema: Ako f zadovoljava Dirichletove uvjete, tada za sve x imamo da je red, koji je dobijen uvrštavanjem x u Fourierov red, konvergentan te je dat sa
 \sum_{n = -\infty}^\infty a_n e^{inx} = \frac{1}{2}(f(x+) + f(x-)) ,
gdje oznake
 f(x+) = \lim_{y \to x^+} f(y)
 f(x-) = \lim_{y \to x^-} f(y)
predstavljaju desni/lijevi limes funkcije f.


Funkcija koja zadovoljava Dirichletove uvjete mora imati desni i lijevi limes u svakoj tački prekida ili funkcija mora oscilirati u toj tački, što je u suprotnosti s uvjetom o ekstremima. Primijetimo da je u svakoj tački, gdje je f neprekidna,

 \displaystyle f(x+) = f(x-) = f(x)

tako da je

 \frac{1}{2}(f(x+) + f(x-)) = f(x) .

Prema tome, Dirichletova teorema kaže da Fourierov red za funkciju f konvergira i da je jednak f ako je funkcija f neprekidna.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

[icon] Ova sekcija zahtijeva proširenje.