Fourierov red

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Fourierove tranformacije
Neprekidna Fourierova transformacija
Fourierov red
Diskretna Fourierova transformacija
Fourierova transformacija diskretnog vremena
Vezane tranformacije

U matematici, Fourierov red rastavlja periodičnu funkciju u sumu jednostavnih oscilatornih funkcija, to jest, u sinuse i kosinuse. Proučavanje Fourierovih redova je grana Fourierove analize. Fourierove redove uveo je Joseph Fourier (1768–1830) u svrhu rješavanja toplotne jednačine u metalnoj ploči. Ovo je dovelo do revolucije u matematici, tjerajući matematičare da preispitaju temelje matematike, što je dovelo do mnogih modernih teorija, kao što je Lebesgueova integracija.

Toplotna jednačina je parcijalna diferencijalna jednačina. Prije Fourierovog rada, nije postojalo poznato rješenje toplotne jednačine u općem slučaju, iako su pojedinačna rješenja bila poznata ako se izvor toplote ponašao na jednostavan način, naprimjer, ako je toplotni izvor bio sinusni ili kosinusni talas. Ove jednostavne situacije se sad ponekad nazivaju sopstvena rješenja. Fourierova ideja je bila da se uzme komplikovani izvor toplote kao superpozicija (ili linearna kombinacija) jednostavnih sinusnih i kosinusnih talasa, te da se rješenja napiše kao superpozicija odgovarajućih sopstvenih rješenja. Ovaj superpozicija ili linearna kombinacije naziva se Fourierov red.

Iako je prvobitna motivacija bila riješiti toplotnu jednačinu, kasnije je postalo očito da ista tehnika može biti primijenjena na širok spektar matematičkih i fizičkih problema. Osnovne rezultate lahko je razumijeti koristeći se modernom teorijom.

Fourierovi redovi imaju mnogo primijena u elektrotehnici, analizi vibracija, akustici, optici, procesuiranju signala, procesuiranju slika, kvantnoj mehanici, i tako dalje.

Historijski razvoj[uredi | uredi izvor]

Joseph Fourier otpočeo je proučavanje Fourierovih redova kako bi riješio toplotnu jednačinu.

Fourierov red dobio je naziv u čast Josepha Fouriera (1768-1830), koji je dao važan doprinos proučavanju trigonometrijskih redova, nakon početnih proučavanja od strane Leonharda Eulera, Jeana le Rond d'Alemberta i Daniela Bernoullija. Ovu je tehniku primijenio je kako bi pronašao rješenje toplotne jednačine, a svoje početne rezultate objavio je 1807. i 1811. godine, dok je Théorie analytique de la chaleur objavio 1822. godine.

Sa modernog stajališta, Fourierovi rezultati su, na neki način, neformalni, zbog nepreciznog označavanja funkcije i integrala u ranom 19. vijeku. Kasnije, Dirichlet i Riemann izrazili su Fourierove rezultate sa većom preciznošću i formalnošću.

Revolucionarni članak[uredi | uredi izvor]

\varphi(y)=a\cos\frac{\pi y}{2}+a'\cos 3\frac{\pi y}{2}+a''\cos5\frac{\pi y}{2}+\cdots.

Množeći obe strane sa \cos(2i+1)\frac{\pi y}{2}, a zatim ih integrisati u granicama od y=-1 do y=+1, daje nam:

a_i=\int_{-1}^1\varphi(y)\cos(2i+1)\frac{\pi y}{2}\,dy.

Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, pp. 218--219.[1]

U ovih nekoliko linija, koje su jako bliske modernom formalizmu koristenom kod Fourierovih redova, Fourier je nenamjerno doveo do revolucije u matematici i fizici. Iako je slične trigonometrijske redove prethodno koristio Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli i Gauss, Fourier je vjerovao da takvi trigonometrijski redovi mogu predstavljati proizvoljne funkcije. Iako ovo nije tačno, pokušaji tokom mnogo godina kako bi se ova ideja klasifikovala dovelo je do važnih otkrića u teorijama konvergencije, funkcionalnih prostora i harmonijske analize.

Kada je Fourier objavio svoj rad 1807. godine, komitet (kojeg su, između ostalih, činili ne manje značajniji matematičari od Lagrangea, Laplacea, Malusa i Legendrea) jeste zaključio: ...način na koji autor stiže do ovih jednačina nije oslobođen od poteškoća i [...] njegova analiza da ih integriše još uvijek ostavlja nešto što bi bilo traženo kao rezultat većine, pa čak i strogost.

Rođenje harmonijske analize[uredi | uredi izvor]

Od Fourierovog vremena, otkriveni su mnogi različiti pristupi kako de se definisao i razumio koncept Fourierovih redova, gdje su svi dosljedni jedni drugima, ali gdje svaki naglašava različite aspekte ove tematike. Neke od moćnijih i elegantnijih prostupa su bazirane na matematičkih idejama i alatima koji nisu bili dostupni u vrijeme kada je Fourier završio svoj originalni rad. Fourier je, originalno, definisao Fourierov red za funkcije realne vrijednosti realnih argumenata, te je koristio sinusne i kosinusne funkcije kao bazni skup za razvijanje.

Od tada su definisane mnoge druge transformacije vezane za Fouriera, proširujući početnu ideju na druge primjene. Ovo opće područje ispitivanja se sada, ponekad, naziva harmonijska analiza. Fourierovi se redovi, međutim, mogu koristiti samo za periodične signale.

Definicija[uredi | uredi izvor]

U ovom dijelu, ƒ(x) označava funkciju realne varijable x. Ova se funkcija, obično, uzima kao periodična sa periodom od 2π, što znači da vrijedi ƒ(x + 2π) = ƒ(x), za sve realne brojeve x. Pokušat ćemo napisati takvu funkciju u vidu beskonačne sume, ili reda jednostavnijih funkcija. Počet ćemo koristeći beskonačnu sumu sinusnih i kosinusnih funkcija na intervelu [−ππ], kao što je i sam Fourier radio (pogledajte citat iznad), a zatim ćemo diskutovati različite formulacije i generalizacije.

Fourierova formula za 2π-periodične funkcije koristeći se sinusima i kosinusima[uredi | uredi izvor]

Za 2π-periodičnu funkciju ƒ(x) koja nije integrabilna na intervalu [−ππ], brojevi

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx

i

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx

se nazivaju Fourierovim koeficijentima od ƒ. Beskonačna suma

\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]

je Fourierov red od funkcije ƒ na intervalu [−ππ].

Fourierov red ne konvergira uvijek, a čak i kada konvergira, vrijednost reda može se razlikovati od vrijednosti funkcije. Jedno od glavnih pitanja u harmonijskoj analizi je da se odredi kada red konvergira, a kada je jednak originalnoj funkciji. Ako je funkcija kvadrat integrabilna funkcija na intevalu [−ππ], tada Fourierov red konvergira u funkciju u skoro svakoj tački. U inženjerskim primjenama, za Fourierov red se, u općem slučaju, pretpostavlja da konvergira svuda osim u tačkama prekida, pošto se funkcije, na koje nailazimo u inženjerstvu, bolje ponašaju od onih koje matematičari mogu dati kao kontra-primjere za ovu pretpostavku. Pojedinačno, Fourierov red konvergira apsolutno i uniformno u ƒ(x) kad god je derivacija od ƒ(x) (koja ne mora postajati svuda) kvanrat integrabilna.[2] Pogledajte članal: Konvergencija Fourierovog reda.

Moguće je definisati Fourierove koeficijente za općenitije funkcije ili raspodjele, gdje, u takvim slučajevima, imamo interes za određivanjem konvergencije, po pravilu slabe konvergencije.

Primjer: jednostavan Fourierov red[uredi | uredi izvor]

Grafički prikaz funkcije periodičnog identiteta - testersati talas.
Animirani grafički prikaz prvih pet uzastopnih parcijalnih Fourierovih redova.

Sada koristimo formule, date u odjeljku iznad, kako bi jednu jednostavnu funkciju rzvili u Fourierov red. Uzmino jednu testerastu funkciju (pogledajte sliku):

f(x) = x, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi,
f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{za } -\infty < x < \infty.

U ovom slučaju, Fourierovi koeficijenti su dati kao

\begin{align}
a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0. \\
b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = 2\frac{(-1)^{n+1}}{n}.\end{align}

A odatle imamo:


\begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{za } \quad -\infty < x < \infty .
\end{align}
 

 

 ( Jdn.1)

 

Može se primijetiti da funkcija razvijena u Fourierov red izgleda mnogo manje jednostavna od formule ƒ(x) = x, te nije odmah očito zašto si nam bio potreban ovaj Fourierov red. Dok postoje mnoge primjene, naglasit ćemo Fourierovu motivaciju da riješi toplotnu jednačinu. Naprimjer, zamislite metalnu ploču u obliku kvadrata čija je stranica π metara, sa koordinatama (xy) ∈ [0, π] × [0, π]. Ako ne postoji izvor toplote unutar ploče, i ako se tri od četiri stranice drže na 0 stepeni celzijusa, dok se četvrta stranica, data sa y = π, drži na temperaturnom gradijentu T(xπ) = x stepeni celzijusa, za x u (0, π), tada možemo pokazati da je stacionarna raspodjela toplote (ili raspodjela toplote nakon dugog perioda vremena) data sa

T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.

Ovdje, sinh je funkcija hiperbolički sinus. Ovo rješenje toplotne jednačine dobijeno je množenjem svakog člana sa od  Jdn.1  sa sinh(ny)/sinh(nπ). Dok se za funkciju iz našeg primjera f(x) čini da ima bespotrebno komplikovan Fourierov red, raspodjela toplote T(xy) jeste netrivijalna. Funkcija T ne može biti napisana kao izraz zatvorenog oblika. Ova metoda rješavanja ovog problema postala je moguća samo nakon Fourierovog rada.

Druga primjena ovog Fourierovog reda je da se riješi Baselov problem koristeći Parsevalov teorem. moguće je, također, izračunati ζ(2n), za svaki pozitivan cijeli broj n.

Moderne verzije koristeći kompleksne eksponente[uredi | uredi izvor]

Možemo koristiti Eulerovu formulu,

 e^{inx} = \cos(nx)+i\sin(nx), \,

gdje je i imaginarna jedinica, kako bi dobili koncizniju formulu:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}.

Fourierovi koeficijenti su dati kao:

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\, dx.

Fourierovi koeficijenti a_n, b_n, c_n su povezani preko izraza

a_n = { c_n + c_{-n} } for n=0,1,2,\dots,

i

b_n = i( c_{n} - c_{-n} ) for n=1,2,\dots

Oznaka cn ne neadekvatna za diskusiju Fourierovih koeficijenat nekoliko različitih funkcija. Zbog toga je uobičajno da se oni zamijenene sa prilagođenim oblikom ƒ (u ovom slučaju), kao što je F ili \scriptstyle\hat{f},. Odatle imamo:


\begin{align}
f(x) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\cdot e^{inx} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F[n]\cdot e^{inx} \quad \mbox{(inženjerstvo)}.
\end{align}

U inženjerstvu, posebno kada varijabla x predstavlja vrijeme, niz koeficijenata se naziva predstavljanje frekventnog domena. Uglaste zagrade se često koriste kako bi se naglasilo da je domen ove funkcije diskretni skup frekvencija.

Fourierov red na općem intevalu [ab][uredi | uredi izvor]

Slijedeća formula, sa odgovarajućim koeficijentima kompleksne vrijednosti G[n], je periodična funkcija sa periodom τ na cijelom skupu R:

g(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty G[n]\cdot e^{i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\ .

Ako je funkcija kvadrat integrabilna na intervalu [aa + τ], tada se, u tom intevalu, može predstaviti preko formule napisane iznad. Ako je g(x) integrabilna, tada su Fourierovi koeficijenti dati sa:

G[n] = \frac{1}{\tau}\int_a^{a+\tau} g(x)\cdot e^{-i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\, dx.

Uočite da ako je funkcija, koje se predstavlja, također i τ-periodična, tada se a može proizvoljno izabrati. Dva pupularna izbora su a = 0 i a = −τ/2.

Ostala često korištena predstavljanja frekventnog domena koriste Fourierove koeficijente kako bi se uskladio Diracov češalj:


G(f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{\tau}\right)

gdje varijabla ƒ predstavlja neprekidan frekventni domen. Kada varijabla x ima jedinicu sekunda, ƒ ima jedinicu hertz. Originalna funkcija g(x) može se dobiti iz ovog prikaza preko inverzne Fourierove transformacije:


\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\{G(f)\} &=
\mathcal{F}^{-1}\left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{\tau}\right)\right\}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\left\{\delta\left(f-\frac{n}{\tau}\right)\right\}}_{e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x}\cdot \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{\delta (f)\}}_{1}}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x} \quad = \ \ g(x).
\end{align}

Funkcija G(f)\, se često naziva Fourierova transformacija, iako Fourierov integral periodične funkcije nije konvergentan.[3]

Fourierov red na kvadratu[uredi | uredi izvor]

Također možemo definisati Fourierov red za funkcije sa dvije varijable x i y na kvadratu [−ππ]×[−ππ]:

f(x,y) = \sum_{j,k \in \mathbb{Z}} c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},
c_{j,k} = {1 \over 4 \pi^2} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x,y) e^{-ijx}e^{-iky}\, dx \, dy\ .

Pored toga što su korisni za rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednačina, kao što je toplotna jednačina, još jedna značajna primjena Fourierovih redova na kvadratu je kod kompresije digitalne slike. Specifično, JPEG standard kompresije slika koristi dvodimenzijalnu diskretnu kosinusnu transformaciju, koja je, u stvari, Fourierova transformacija uz koristenje funkcije sa kosinusnom bazom.

Hilbertova interpretacija prostora[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: Hilbertov prostor

U jeziku Hilbertovog prostora, skup funkcija \{ e_n = e^{i n x},n\in\mathbb{Z}\} je ortonormalna baza za prostor L^2([-\pi,\pi]) kvadrat-integrabilnih funkcija [-\pi,\pi]. Ovaj prostor je, u stvari, Hilbertov prostor sa unutrašnji proizvod dat sa:

\langle f, g \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.

Osnovni rezultat Fourierovog reda za Hilbertove prostore može se napisati kao

f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,e_n \rangle e_n.

Ovo tačno odgovara formulaciji sa kompleksnim ekponentom, datoj u tekstu iznad. Varijanta sa sinusima i kosinusima je, također, opravdana sa interpetacijom Hilbertovog prostora. Očito, sinusi i kosinusi čine ortonormalni skup:

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \cos(nx)\, dx = \pi \delta_{mn},
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\, \sin(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}

(gdje je \delta_{mn} Kroneckerova delta), i

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \sin(nx)\, dx = 0.

Gustina njihovog raspona je posljedica Stone-Weierstrassovog teorema.

Osobine[uredi | uredi izvor]

Kažemo da je f \in C^k(\mathbb{T}) ako je f funkcija od \mathbb{R}, koja je k puta diferencijabilna, njena k-ta derivacija je neprekidna, te ako je 2\pi-periodična.

  • Ako f \in C^1(\mathbb{T}), tada Fourierovi koeficijenti \hat{f'}(n) od derivacija f'(t) mogu biti izraženi preko Fourierovih koeficijenata \hat{f}(n) funkcije f(t), pomoću formule \hat{f'}(n) = in \hat{f}(n).
  • Ako f \in C^k(\mathbb{T}), tada je \widehat{f^{(k)}}(n) = (in)^k \hat{f}(n). Pojedinačno, pošto \widehat{f^{(k)}}(n) teži u nulu, imamo da |n|^k\hat{f}(n) teži u nulu, štp znači da Fourierovi koeficijenti konvergiraju u nulu brže nego k-ti stepen od n.
  • Plancherelov teorem: Ako su c_0,\, c_{\pm 1},\, c_{\pm 2},\ldots koeficijenti i ako \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 < \infty, tada postoji jedinstvena funkcija f\in L^2([-\pi,\pi]), takva da vrijedi \hat{f}(n) = c_n za svako n.

Opći slučaj[uredi | uredi izvor]

Postoji mnogo načina da se uopći Fourierov red. Proučavanje Fourierovih redova i njhivih uopćavanja naziva se harmonijska analiza.

Generalizovane funkcije[uredi | uredi izvor]

Oznake Fourierovih koeficijenata mogu se proširiti u funkcije koje nisu kvadrat-integrabilne, pa čak i u objekte koji nisu funkcije. Ovo je veoma korisno u inženjerskim primjenama, zato šte često trebamo Fourierov red periodičnog ponavljanja Diracove delta funkcije. Diracova delta δ nije, u stvari, funkcija; međutim, ona ipak ima fourierovu transformaciju, a njeno periodično ponavljanje ima Fourierov red:

\hat{\delta}(n)={1 \over 2\pi}\text{ za svako }n.\,

Riemannianova višestrukost[uredi | uredi izvor]

Atomske orbitale u hemiji su sferični harmonici i mogu se koristit za nalaženje Fourierovog reda na sferi.

Ako domen nije grupa, tada ne postoji bitno definisana konvolucija. Međutim, ako je X kompaktna Riemannianova višestrukost, ona ima Laplace-Beltramijev operator. Laplace-Beltramijev operator je diferencijalni operator koji odgovara Laplaceovom operatoru za Riemannianovu višestrukost X. Tada, po analogiji, možemo razmatrati toplotnu jednačinu na X. Pošto je Fourier došao do svoje baze pokušavajući riješiti toplotnu jednačinu, prirodna generalizacija je ta da koristimo sopstvena rješenja Laplace-Beltramijebog operatora kao bazu. Ovo uopćuje Fourierov red u prostor tipa L^2(X), gdje je X Riemannianova višestrukost. Fourierovi redovi konvergiraju na načine slične slučaju za interval [-\pi,\pi]. Tipičan primjer da se uzme da je X sfera, kada bi imali slučaj da se Fourierova bazasastoji od sferičnih harmonika.

Aproksimacija i konvergencija Fourierovog reda[uredi | uredi izvor]

Važno pitanje u teoriji, kao i u primjenama, je pitanje konvergencije. Naprimjer, često je potrebno u prijmenama zamijeniti beskonačni red \sum_{-\infty}^\infty sa konačnim,

S_N(x) = \sum_{n=-N}^N \hat{f}(n) e^{inx}.

To je naziva parcijalna suma. Htjeli bismo da znamo, u kojem smislu SN(x) konvergira u f(x) kada N teži u beskonačnost.

Osobina najmanjeg kvadrata[uredi | uredi izvor]

Kažemo da je p trigonometrijski polinom stepena N kada ima oblik

p(x)=\sum_{n=-N}^N p_n e^{inx}.

Uočite da je S_N(x) trigonometrijski polinom stepena N. Parsevalov teorem kaže da je

Teorem: S_N(x) je jedinstveno najbolji trigonometrijski polinom stepena N koji aproksimira f(x), u smislu da, za svaki trigonometrijski polinom p\neq S_N stepena N, imamo \|S_N - f\| \lneqq \|p - f\|.

Ovdje, norma Hilbertovog prostora je

\| g \| = \sqrt{{1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |g(x)|^2 \, dx}.

Konvergencija[uredi | uredi izvor]

Zbog osobine najmanjeg kvadrata, i zbog potpunosti Fourierove baze, dobijamo razultat elementarne konvergencije.

Teorem: Ako vrijedi f\in L^2([-\pi,\pi]), tada Fourierov red konvergira u L^2([-\pi,\pi]), to jest, \|S_N - f\|_2 konvergira u 0 kada N teži u beskonačnost.

Već smo spomenuli da ako je f dva puta neprekidno diferencijabilna, tada n^2 \hat{f}(n) konvergira u nulu kada n teži u beskonačnost. Ovo odmah daje drugi rezultat konvergencije.

Teorem: Ako vrijedi f \in C^2(\mathbb{T}), tada \sup_x |f(x) - S_N(x)| \leq \sum_{|n|>N} |\hat{f}(n)| konvergira u nulu, npr., S_N konvergira u f uniformno.

Divergencija[uredi | uredi izvor]

Pošto Fourierovi redovi imaju tako dobre osobine konvergencije, možemo se iznenaditi sa nekim negativnim rezultatima.

1922. godine, Andrey Kolmogorov objavio je članak pod nazivom "Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout" u kojem je dao primjer Lebesgue-integrabilne funkcije, čiji Fourierov red divergira skoro svuda. Kasnije je pokazao primjer integrabilne funkcije čiji Fourierov red divergira svuda (Katznelson 1976).

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Gallica - Fourier, Jean-Baptiste-Joseph (1768-1830). Oeuvres de Fourier. 1888
  2. ^ Georgi P. Tolstov (1976). Fourier Series, Courier-Dover ISBN 0486633179.
  3. ^ Since the integral defining the Fourier transform of a periodic function is not convergent, it is necessary to view the periodic function and its transform as distributions. In this sense \mathcal{F}\{e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x}\} is a Dirac delta function, which is an example of a distribution.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • William E. Boyce and Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Eighth edition. John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2005. ISBN 0-471-43338-1
  • Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (published 1822, translated 1878, re-released 2003). The Analytical Theory of Heat, Dover Publications. ISBN 0-486-49531-0. ISBN 0-486-49531-0. 2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
  • Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to harmonic analysis (Second corrected ed.), New York: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4 
  • Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
  • Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, Third edition. McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. ISBN 0-07-054235-X

Vanjski linkoci[uredi | uredi izvor]

Ovaj članak sadrži materijal o primjer Fourierovog reda sa PlanetMath-a, koji je licenciran po GFDL-u.

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: