Red (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, red je često predstavljen kao suma članova niza. To jest, red je predstavlja niz brojeva sa znakom operacije za sabiranje između svakog od njih, npr. ova aritmetički niz:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

U većini slučajeva od interesa, članovi niza pojavljuju se po po određenom pravilu, kao što je formula, algoritam, i sl.

Redovi mogu biti konačni ili beskonačni. Konačni redovi mogu se rješavati elementarnom algebrom, ali beskonačni redovi zahtijevaju poznavanje matematičke analize.

Primjeri prostih redova su aritmetički redovi kod kojih se suma aritmetičke progresije piše kao:

\sum_{n=0}^k (an+b);,

te beskonačni geometrijski redovi, suma geometrijske progresije, koja se može napisati kao:

\sum_{n=0}^k a^{n}.

Historija teorije beskonačnih redova[uredi | uredi izvor]

Fourierov red[uredi | uredi izvor]

[icon] Ova sekcija zahtijeva proširenje.

Apsolutna konvergencija[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: Apsolutna konvergencija

Za red

\sum_{n=0}^\infty a_n

se kaže da konvergira apsolutno ako red apsolutne vrijednosti

\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|

konvergira. U ovom slučaju, originalni red, kao i sve njegove varijante (koje se dobiju regrupisanjem članova), konvergiraju i to prema istoj sumi.

Riemannov teorem o redu kaže da, ako je red uslovno konvergentan, tada se može pronaći takav raspored članova, takav da novi rred divergira. Štaviše, ako su an realni i ako je S bilo koji realan broj, može se pronaći takav raspored da novi red konvergira sa limesom S.

Neke vrste beskonačnih redova[uredi | uredi izvor]

  • Geometrijski red je red kod kojeg se naredni član dobije množenjem prethodnog člana s konstantnim brojem. Primjer:
1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.
Općenito, geomtrijski red
\sum_{n=0}^\infty z^n
konvergira ako i samo ako |z| < 1.
1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.
Harmonijski red je divergentan.
  • Alternativni red je red u kojem članovi periodično mijenjaju znak (+ ili -). Primjer:
1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.
  • Red
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}
konvergira ako je r > 1, a divergira ako za r ≤ 1, što se može dokazati integralnim testom, opisanim ispod u dijelu o testovima konvergencije. Kao funkcija od r, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.
\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})
konvergira ako niz bn konvergira u limes L kada n teži u beskonačnost. Vrijednost reda je tada b1L.

Testovi konvergencije[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: Testovi konvergencije
  • Test poređenja 1: Ako je ∑bn  apsolutno konvergentan red takav da je |an | ≤ C |bn | za neki broj C  i za dovoljno veliki broj n , tada i red ∑an  konvergira apsolutno. Ako red ∑|bn | divergira, a |an | ≥ |bn | za svaki dovoljno velik n , tada red ∑an  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu an  promijeni znak).
  • Test poređenja 2: Ako je ∑bn  apsolutno konvergentan red takav da |an+1 /an | ≤ |bn+1 /bn | za dovoljno veliki n , tada i red ∑an  konvergira apsolutno. ako red ∑|bn | divergira, a |an+1 /an | ≥ |bn+1 /bn | za sve dovoljno velike n , tada red ∑an  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu an  promijeni znak).
  • D'Alambertov test: Ako se odnos |an+1/an| približava broju manjem od jedan dok n teži u beskonačnost, tada red ∑ an konvergira apsolutno. Kada je taj odnos 1, konvergencija se, najčešće, određuje preko drugog testa.
  • Cauchyjev korjeni test: ako postoji konstanta C < 1 takva da je |an|1/nC za svedovoljno velike n, tada red ∑ an konvergira apsolutno.
  • Cauchyjev integralni test: Ako je f(x) pozitivna, monotono opadajuća i neprekidna funckija definisana na intervalu [1, ∞) sa f(n) = an za sve n, tada red ∑ an konvergira ako i samo ako postoji integral1 f(x) dx.
  • Leibnizov test: Red oblika ∑ (−1)n an (sa an ≥ 0) naziva se alternativni red. Takvi redovi konvergiraju ako je niz an monotono opadajući, te ako konvergira prema nuli.
  • Potreban uslov konvergencije reda: Ako je limn→∞ a n ≠ 0, tada red divergira.
  • Za neke posebne vrste redova postoje specijalizovani testovi konvergencije, npr. za Fourierov red postoji Dinijev test.

Potencijalni red[uredi | uredi izvor]

Nekoliko bitnih funkcija može se razviti u Taylorov red; ovo je beskonačan red koji sadrži potenciju nezavisne promjenljive, te se zbog toga nazivaju potencijalni redovi.Na primjer, red

\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}

konvergira u e^x za sve x. Također pogledajte članak radijus konvergencije.

Kroz historiju, matematičari, kao što su Leonhard Euler, su slobodno manipulisali beskonačnim redovima, čak i ako nisu bili konvergentni. Kada se pročulo o kalkulusu sa ispravnim i osnovanim temeljima u 19. vijeku, zahtijevani su rigorozni testovi konvergencije.

Dirichletov red[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: Dirichletov red

Dirichletov red je onaj red koji ima oblik

\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s},

gdje je s kompleksan broj. Općenito, ovaj red konvergira ako je realni dio od s veći od broja koji se naziva apscisa konvergencije.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: