Neprekidna funkcija

Neprekidnost funkcija

Neprekidne funkcije predstavljaju jednu od najvažnijih klasa funkcija koje se proučavaju u različitim matematičkim disciplinama. Za neku funkciju $f$ kažemo da je neprekidna u nekoj tački $x_0$ ako funkcija uopšte posjeduje vrijednost u toj tački, te ako se njena vrijednost kada se sa lijeva ili desna približavamo posmatranoj tački također približava njenoj vrijednosti u posmatranoj tački. Za funkciju koja nije neprekidna u nekoj tački kažemo da je prekidna u toj tački, odnosno da ima prekid u posmatranoj tački.

Radi lakšeg opisivanja ponašanja (svojstava) neke funkcije, u praksi je od velikom značaja tzv. grafik funkcije, tj. grafički prikaz skupa vrijednosti posmatrane funkcije nad nekim podskupom njenog domena. Pojednostavljeno gledajući, za funkciju možemo reći da je neprekidna ako njen grafik možemo nacrtati bez da vrh olovke odvojimo od papira. No, ovo je veoma daleko od formalne definicije neprekidne funkcije, iz čistog razloga što se pojam "crtanja bez odvajanja od papira" nemože matematički predstaviti.

Današnju formalnu definiciju neprekidne funkcije dao je Karl Weierstraß krajem 19. vijeka.

Neprekidnost funkcije u tački

U upotrebi je nekolicina različitih, ali ekvivalentnih definicija neprekidnosti funkcije u tački

• Za funkciju $f$ definisanu u nekoj okolini tačke $x_0$ kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački $x_0$ ako je

Pomakni u desno: $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\,=f(x_0)$

• Za funkciju $f$ definisanu u nekoj okolini tačke $x_0$ kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački $x_0$ ako za dato $\epsilon > 0$ postoji broj $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ takav da za sve $x$ za koje je $|x-x_0|<\delta$ vrijedi:

$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

• Za funkciju $f$ definisanu u nekoj okolini tačke $x_0$ kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački $x_0$ ako je

$\lim_{x - x_0 \rightarrow 0}(f(x) - f(x_0))\,= 0$

Razliku $x-x_0$ nazivamo priraštaj nezavisne promjenljive i označavamo sa $\bigtriangleup x$, dok razliku $f(x)-f(x_0)$ nazivamo priraštaj zavisno promjenljive i označavamo sa $\bigtriangleup f(x) = \bigtriangleup y$.

• Za funkciju $f$ definisanu u nekoj okolini $[x_0, x_0 + \delta)$ tačke $x_0$ kažemo da je neprekidna s desna tački $x_0$ ako je

$\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\,=f(x_0)$

• Za funkciju $f$ definisanu u nekoj okolini $(x_0 - \delta, x_0]$ tačke $x_0$ kažemo da je neprekidna s lijeva tački $x_0$ ako je

$\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\,=f(x_0)$

• Za funkciju $f$ definisanu u nekoj okolini tačke $x_0$ kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački $x_0$ ako je neprekidna s desna i neprekidna s lijeva u tački $x_0$

• Tačka gomilanja $x_0$ u kojoj funkcija $f$ nije neprekidna naziva se tačka prekida (diskontinuiteta) funkcije $f$. Tačka $x_0$ postaje tačka prekida funkcije $f$, ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

1. Funkcija $f$ nije definisana u tački $x_0$
2. Barem jedna od graničnih vrijednosti $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)$, $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$ ne postoji. Tačku prekida $x_0$ funkcije $f$ za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamo tačkom prekida druge vrste.
3. Postoje granične vrijednosti $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)$, $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$, ali je barem jedna od njih različita od vrijednosti funkcije $f$ u tački $x_0$, tj. $f(x_0)$. Tačku prekida $x_0$ funkcije $f$ za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamo tačkom prekida prve vrste.
4. Ako postoje granične vrijednosti $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)$, $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$ i $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$, ali funkcija $f$ nije definisana u tački $x_0$, onda funkciju $f$ možemo proširiti stavljajući $f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ tako da nova funkcija postane neprekidna u tački $x_0$. Ovakvu tačku $x_0$ nazivamo tačkom otklonjivog prekida.

• Ako su funkcije $f$ i $g$ neprekidne u tački $x_0$, onda su i funkcije $f+g$, $fg$ neprekidne u tački $x_0$. Ako je $g(x_0)\neq 0$, onda je i funkcija $\frac{f}{g}$ neprekidna u tački $x_0$.

• Ako je $g$ neprekidna funkcija u tački $x_0$, a $f$ neprekidna funkcija u tački $g(x_0)$, onda je složena funkcija $f(g)$ neprekidna u tački $x_0$.

Primjeri funkcija sa različitim vrstama tačaka prekida

• Funkcija zadana sa $f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{x}\text{, } & x \ne 0 \\ 0\text{, } & x = 0 \end{array}\right.$, ima prekid u tački $x = 0$. Tačka $x = 0$ predstavlja prekid prve vrste za ovu funkciju.

Obratite pažnju da je neprekidnost lokalno svojstvo i ispituje se samo na tačkama domena funkcije. Da je gornja funkcija bila definisina samo sa $f(x)=\frac{1}{x}$ onda ne bi bilo moguće ispitivati neprekidnost funkcije u tački 0 jer tu funkcija nije definisana (deljenje sa 0) što znači da je funkcija $f(x)=\frac{1}{x}$ neprekidna. To jest ona je neprekidna na svom domenu

• Funkcija zadana sa $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} e^{x} &x \leq 0 \\ \ln{x}&x>0 \end{array}\right.$ ima prekid druge vrste u tački $x = 0$. Ovo je primjer funkcije koja je neprekidna s lijeva ali nije neprekidna s desna.

• Funkcija zadana sa $\frac{x}{|x^2-x|}$ posjeduje istovremeno prekid prve vrste (u tački $x = 0$) i prekid druge vrste (u tački $x = 1$).

• Funkcija zadana sa $f(x) = \frac{x^3+8}{x + 2}$ posjeduje otklonjiv prekid u tački $x = -2$.

Neprekidnost funkcija na zatvorenom intervalu

Za funkciju $f$ definisanu na nekom intervalu ili uniji intervala $D(f)$ kažemo da je neprekidna na $D(f)$ ako je neprekidna u svakoj tački $x_0\in D(f)$.

Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu $[a,b]$, ona je na tom intervalu i ograničena, te na tom intervalu poprima svoju najmanju i najveću vrijednost.

Uniformna neprekidnost funkcija

Za funkciju $f$ definisanu na nekom intervalu $(a,b)$ kažemo da je uniformno neprekidna na tom intervalu, ako za svako $\epsilon > 0$ postoji $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ takvo da za sve parove tačaka $x_1,x_2\in (a,b)$ za koje je $|x_2-x_1|<\delta$ vrijedi $|f(x_2)-f(x_1)|<\epsilon$.

Ako je funkcija $f$ uniformno neprekidna na nekom intervalu, ona je očigledno i neprekidna na tom intervalu. Dakle, klasa uniformno neprekidnih funkcija je potskup klase neprekidnih funkcija. U slučaju zatvorenog intervala $[a,b]$ ove dvije klase se poklapaju, tj. svaka neprekidna funkcija nad zatvorenim intervalom $[a,b]$ je ujedno i uniformno neprekidna nad ovim intervalom. U slučaju otvorenih intervala, ovo ne vrijedi. Npr. funkcija $f(x)=\frac{1}{x}$ je neprekidna na otvorenom intervalu $(0,1)$, ali nije uniformno neprekidna na ovom intervalu.