Cauchyjev korjeni test

U matematici, Cauchyjev korjeni test je test (kriterij) za određivanje konvergencije (test konvergencije) beskonačnih redova

$\sum_{n=1}^\infty a_n.$

Posebno je koristan kod potencijalnih redova.

Test

Korjeni test prvi je razvio Augustin Louis Cauchy, po kome je test i nazvan. Korjeni test koristi broj

$C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},$

gdje "lim sup" označava limes superiot, sa mogućnom vrijednost od ∞.

Korjeni test kaže da:

• ako je C < 1, tada red konvergira apsolutno, a
• ako je C > 1, tada red divergira.

(Ako je C = 1, test je neodlučan. Postoje neki redovi kod kojih za C = 1 red konvergira, npr. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^2}$, ali postoje i redvi koji za C = 1 adivergiraju, npr. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac1n$.)

Primjena kod potencijalnih redova

Ovaj test se može primijenjivati kod potencijalnih redova

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-p)^n$

gdje su koeficijenti c_n i centar p kompleksni brojsevi, a argument z je kompleksna varijabla.

Članovi reda bi tada biti dati kao a_n = c_n(z − p)ⁿ. Tada se primijeni korjeni test na a_n, kao što je pokazano na početku članka. Važno je primijetiti da se red kao što je ovaj ponekad naziva potencijalni red "oko p", jer je radijus konvergencije je radijus R najvećeg intervala ili diska centriranog u p tako da red konvergira za sve tačke z striktno unutar granica intervala (konvergencija na granicama intervalaili diska mora seprovjeriti odvojeno). Korolarija teoreme korjenog testa primijenjenog na ovakav potencijalni red je da je radijus konvergencije tačno $R=1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}$.

Dokaz

Dokaz konvergentnosti reda Σa_n je primjena testa poređenja. Ako za sve n ≥ N (N neki fiskan prirodni broj) imamo $\sqrt[n]{a_n} < k < 1,$ tada je $a_n < k^n < 1.$ Pošto geometrijski red $\sum_{n=N}^\infty k^n$ konvergira, konvergira i red $\sum_{n=N}^\infty a_n$, prema testu poređenja. Apsolutna konvergencija u slučaju nepozitivnog a_n može se dokazati na potpuno isti način koristeći $\sqrt[n]{|a_n|}.$

Ako vrijedi $\sqrt[n]{|a_n|} > 1$ za beskonačno mnogo n, tada a_n ne konvergira u 0, pa je red divergentan.

Dokaz korolarije:

Za potencijalni red Σa_n = Σc_n(z − p)ⁿ, vidimo, iz prethodno izloženog, da red konvergira ako postoji N takav da za sve n ≥ N imamo

$\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|c_n(z - p)^n|} < 1,$

ekvivalentno sa

$\sqrt[n]{|c_n|}\cdot|z - p| < 1$

za sve n ≥ N, što implicira da, kako bi red konvergirao, moramo imati $|z - p| < 1/\sqrt[n]{|c_n|}$ za sve dovoljno velike brojeve n. Ovo je ekvivalentno iskazu

$|z - p| < 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}},$

tako da brijedi $R \ge 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}$. Sada jedino mjesto na kojem je konvergencija moguća je kada imamo

$\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|c_n(z - p)^n|} = 1,$

(pošto tačke > 1 divergiraju), a ovo neće promijeniti radijus konvergencije pošto su to samo tačke koje leže na granicama intervala ili diska, tako da vrijedi

$R = 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}.$

Također pogledajte

• D'Alambertov test
• Konvergentni red

Reference

• Knopp, Konrad (1956). “§ 3.2”, Infinite Sequences and Series, Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6. ISBN 0-486-60153-6.
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). “§ 2.35”, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3. ISBN 0-521-58807-3.

Ovaj članak sadrži materijal o dokazu Cauchyjevog kojenog testa sa PlanetMath-a, koji je licenciran po GFDL-u.