Cauchyjev korjeni test

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Cauchyjev korjeni test je test (kriterij) za određivanje konvergencije (test konvergencije) beskonačnih redova

\sum_{n=1}^\infty a_n.

Posebno je koristan kod potencijalnih redova.

Test[uredi | uredi izvor]

Korjeni test prvi je razvio Augustin Louis Cauchy, po kome je test i nazvan. Korjeni test koristi broj

C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},

gdje "lim sup" označava limes superiot, sa mogućnom vrijednost od ∞.

Korjeni test kaže da:

(Ako je C = 1, test je neodlučan. Postoje neki redovi kod kojih za C = 1 red konvergira, npr. \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^2}, ali postoje i redvi koji za C = 1 adivergiraju, npr. \sum_{n=1}^{\infty} \frac1n.)

Primjena kod potencijalnih redova[uredi | uredi izvor]

Ovaj test se može primijenjivati kod potencijalnih redova

f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-p)^n

gdje su koeficijenti cn i centar p kompleksni brojsevi, a argument z je kompleksna varijabla.

Članovi reda bi tada biti dati kao an = cn(zp)n. Tada se primijeni korjeni test na an, kao što je pokazano na početku članka. Važno je primijetiti da se red kao što je ovaj ponekad naziva potencijalni red "oko p", jer je radijus konvergencije je radijus R najvećeg intervala ili diska centriranog u p tako da red konvergira za sve tačke z striktno unutar granica intervala (konvergencija na granicama intervalaili diska mora seprovjeriti odvojeno). Korolarija teoreme korjenog testa primijenjenog na ovakav potencijalni red je da je radijus konvergencije tačno R=1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}.

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Dokaz konvergentnosti reda Σan je primjena testa poređenja. Ako za sve nN (N neki fiskan prirodni broj) imamo \sqrt[n]{a_n} < k < 1, tada je a_n < k^n < 1. Pošto geometrijski red \sum_{n=N}^\infty k^n konvergira, konvergira i red \sum_{n=N}^\infty a_n, prema testu poređenja. Apsolutna konvergencija u slučaju nepozitivnog an može se dokazati na potpuno isti način koristeći \sqrt[n]{|a_n|}.

Ako vrijedi \sqrt[n]{|a_n|} > 1 za beskonačno mnogo n, tada an ne konvergira u 0, pa je red divergentan.

Dokaz korolarije:

Za potencijalni red Σan = Σcn(z − p)n, vidimo, iz prethodno izloženog, da red konvergira ako postoji N takav da za sve nN imamo

\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|c_n(z - p)^n|} < 1,

ekvivalentno sa

\sqrt[n]{|c_n|}\cdot|z - p| < 1

za sve nN, što implicira da, kako bi red konvergirao, moramo imati |z - p| < 1/\sqrt[n]{|c_n|} za sve dovoljno velike brojeve n. Ovo je ekvivalentno iskazu

|z - p| < 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}},

tako da brijedi R \ge 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}. Sada jedino mjesto na kojem je konvergencija moguća je kada imamo

\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|c_n(z - p)^n|} = 1,

(pošto tačke > 1 divergiraju), a ovo neće promijeniti radijus konvergencije pošto su to samo tačke koje leže na granicama intervala ili diska, tako da vrijedi

R = 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Ovaj članak sadrži materijal o dokazu Cauchyjevog kojenog testa sa PlanetMath-a, koji je licenciran po GFDL-u.