Gradijent

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Info
 Za druga značenja pojma Gradijent pogledajte čvor članak.

Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnom i bijelom područijem, s tim da crna odgovara većim vrijednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

U vektorskoj analizi, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje pokazuje u pravcu najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Benchovom prostoru koje imaju vektorske vrijednosti, je Jakobijan.

Sadržaj

[uredi] Interpretacija gradijenta

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem φ, tako da je u svakoj tački (x,y,z) temperatura φ(x,y,z) (pretpostavit ćemo da se temperatura ne mijenja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazat će smijer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, također, može koristit da se izmjeri kako se skalarno polje mijenja u drugim smjerovima (a ne samo u pravcu najveće promijene) korištenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamilimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako cesta ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, također, 40%. Ako, međutim, cesta ide oko brda sa uglom u smijeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati plići nagib. Na primjer, ako je ugao između ceste u prvca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž ceste, biti 20%, štp se dobilo iz proizvoda 40% puta [kosinus]] od 60°.

[uredi] Formalna definicija

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije f(x) po vaktorskoj varijabli x = (x_1,\dots,x_n) se označava kao \nabla f ili \vec{\nabla} f gdje je \nabla (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka \operatorname{grad}(f) se, također, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente partial derivatives funkcije f. To jest:

\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right).

Skalarni proizvod (\nabla f)_x\cdot v gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski intergrali kroz gradientno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoći gradijentnom teoremom. Suprotno, nerotacijsko vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvijek gradijent funkcije.

[uredi] Izrazi za gradijent u 3 dimenzije

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

\nabla f(x, y, z) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}

U cilindričnim koordinatama:

\nabla f(\rho, \theta, z) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial \rho}}, {\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}

(gdje je θ azimutalni ugao, a z je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

\nabla f(r, \theta, \phi) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial r}}, {\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, {\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}} \end{pmatrix}

(gdje je θ azimutalni ugao, a φ je zenitni ugao).

[uredi] Primjer

Na primjer, gradijent u pravouglim koordinatama

f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)

je:

\nabla f= \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.

[uredi] Gradijent i izvod ili diferencijal

[uredi] Linearna aproksimacija funkcije

Gradijent funkcije f iz Euklidovog prostora \mathbb{R}^n u \mathbb{R} i bilo kojoj tački x0 u \mathbb{R}^n karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x0. Ta aproksimacija se zapisuje na sljedeći način:

f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0)

za x koje je blizu x0, gdje je (\nabla f)_{x_0} gradijent funkcije f izračunat u x0, gdje tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu \mathbb{R}^n.

[uredi] Također pogledajte

[uredi] Reference

  1. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, 157-160, New York: Dover Publications.
Preuzeto sa: "http://bs.wikipedia.org/wiki/Gradijent"