Gradijent

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Za druga značenja pojma Gradijent pogledajte Gradijent (čvor).
Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnom i bijelom područijem, s tim da crna odgovara većim vrijednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

U vektorskom kalkulusu, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje pokazuje u pravcu najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Benchovom prostoru koje imaju vektorske vrijednosti, je Jakobijan.

Interpretacija gradijenta[uredi | uredi izvor]

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem \phi, tako da je u svakoj tački (x,y,z) temperatura \phi(x,y,z) (pretpostavit ćemo da se temperatura ne mijenja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazat će smijer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, također, može koristit da se izmjeri kako se skalarno polje mijenja u drugim smjerovima (a ne samo u pravcu najveće promijene) korištenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamilimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako cesta ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, također, 40%. Ako, međutim, cesta ide oko brda sa uglom u smijeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati plići nagib. Na primjer, ako je ugao između ceste u prvca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž ceste, biti 20%, štp se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.

Formalna definicija[uredi | uredi izvor]

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije f(x) po vaktorskoj varijabli x = (x_1,\dots,x_n) se označava kao \nabla f ili \vec{\nabla} f gdje je \nabla (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka \operatorname{grad}(f) se, također, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente partial derivatives funkcije f. To jest:

 \nabla f  = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots,  \frac{\partial f}{\partial x_n }  \right).

Skalarni proizvod (\nabla f)_x\cdot v gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski intergrali kroz gradientno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoći gradijentnog teorema. Suprotno, nerotacijsko vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvijek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzije[uredi | uredi izvor]

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

\nabla f(x, y, z) = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},  
{\frac{\partial f}{\partial y}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix}

U cilindričnim koordinatama:

\nabla f(\rho, \theta, z) = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial \rho}},  
{\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix}

(gdje je \theta azimutalni ugao, a z je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

\nabla f(r, \theta, \phi) = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial r}},  
{\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, 
{\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}}
\end{pmatrix}

(gdje je \theta azimutalni ugao, a \phi je zenitni ugao).

Primjer[uredi | uredi izvor]

Na primjer, gradijent u pravouglim koordinatama

f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)

je:

\nabla f= \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},  
{\frac{\partial f}{\partial y}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
{2}, 
{6y},
{-\cos(z)}
\end{pmatrix}.

Gradijent i izvod ili diferencijal[uredi | uredi izvor]

Linearna aproksimacija funkcije[uredi | uredi izvor]

Gradijent funkcije f iz Euklidovog prostora \mathbb{R}^n u \mathbb{R} i bilo kojoj tački x0 u \mathbb{R}^n karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x0. Ta aproksimacija se zapisuje na sljedeći način:

 f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0)

za x koje je blizu x_0, gdje je (\nabla f)_{x_0} gradijent funkcije f izračunat u x_0, gdje tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu \mathbb{R}^n.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, 157-160, New York: Dover Publications ISBN 0-486-41147-8.