Cauchyjev test kondenzacije

U matematici, Cauchyjev test kondenzacije je standarni test konvergencije za beskonačne redove. Za pozitivni, monotono opadajući niz f(n), suma

$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$

konvergira ako i samo ako suma

$\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})$

konvergira. Staviše, u tom slučaju imamo

$\sum_{n=1}^{\infty}f(n) < \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) < 2 \sum_{n=1}^{\infty}f(n).$

Geometrijsko značenje je to da se aproksimira suma sa trapezoidima kod svakog $2^{n}$. Drugo objašnjenje je da je, sa analogijom između konačnih suma i integrala, "kondenzacija" članova analogna sa substitucijom teksponencijalne funkcije. Ovo postaje jasnije u primjeru kao što je

$\ f(n) = n^{-a} (\log n)^{-b} (\log \log n)^{-c},$.

Ovdje red definitivno konvergira za a > 1, a divergira za a < 1. Kada je a = 1, kondenzaciona trnsformacija daje red

$\sum n^{-b} (\log n)^{-c}$

Logaritmi se "pomijeraju u lijevo". Tako, kada imamo da je a = 1, imamo da red konergira za b > 1, a za b < 1 red divergira. Kada jeb = 1, isto važi za vrijednost c.

Vanjski linkovi

• Dokaz Cauchyjevog testa kondenzacije

Ovaj članak, koji govori o matematičkoj analizi, je u začetku. Možete pomoći Wikipediji tako što ćete ga proširiti.