Nepravi integral

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

Preporučuje se čitaocu da, prije čitanja članaka, bude upoznat sa antiderivacijama, integralima i graničnim vriejdnostima.

U kalkulusu, nepravi integral je granična vrijednost određenog integrala, kao se posjednja tačka intervala integracije približava bilo određenom realnom broju ili ∞ ili −∞, ili, u nekim slučajevima, kada sa dvije strane teži ka graničnoj vrijednosti.

Slika 1

U nekim slučajevima, integral

\int_a^c f(x)\,dx\,

se definiše bez obzira na granicu

\lim_{b\to c^-}\int_a^b f(x)\,dx\,

ali se drugačije ne može izračunati. Ovo se najčešće dešava kada se funkcija f, koja se integriše od a do c, ima vertikalnu asimptotu u c, ili ako c = ∞ (pogledajte: Slika 1 i Slika 2).

U nekim slučajvima, integral od a do c nije ni definisan, jer su integrali i pozitivnih i negativnih dijelova f(xdx od a do c beskonačni, ali granična vrijednost, ipak, može postojati. Takvi slučajevi su "pravi nepravi" integrali, npr. njihove vrijednosti se ne mogu definisati, osim kao te granične vrijednosti.

Slika 2

Integral

\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}

može se interpretirati kao

\lim_{b\to\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\to\infty}\arctan{b}=\frac{\pi}{2},

ali, prema matematičkoj analizi, nije neophodno interpretirati ga na taj način, jer se može interpretirati kao Lebesgueov integral u intervalu (0, ∞). Na drugu stranu, korištenje granične vrijednosti određenih integrala u zatvorenom intervalu, je jako korisno samo ako se računaju tačne vrijednosti.

U suprotnosti,

\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx

ne može biti interpretiran kao Lebesgueov integral, pošto je

\int_0^\infty\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\,dx=\infty.

Zbog toga je to "pravi" nepravi integral, čije vrijednosti su date preko

\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.

Možemo govoriti o singularitetima nepravog integrala, misleći na one tačke produžene brojne linije realnih brojeva u kojim je korištena granična vrijednost.

Takvi integrali se često zapisuju simbolično kao i standardni pravi integrali, možda sa beskonačnosti kao granicom integracije. Ali to prikriva proces traženja granične vrijednosti. Korištenjem "naprednije" Lebesgueovog integrala, umjesto Riemannovog integrala, može se, u nekim slučajevima, zaobići ovaj problem, ali ako se jednostavno želi dobiti određeni rezultat, ta metoda nam možda neće pomoći.

Beskonačne granice integracije[uredi | uredi izvor]

Najosnovniji od nepravih integrala su integrali tipa:

\int_0^\infty {dx \over x^2+1}.

Kako je gore rečeno, ovo ne mora biti definisano kao nepravi integral, jer se, umjesto toga, može računati kao Lebesgueov integral. Međutima, u svrhu tačnog izračunavanja ovog integrala, bolje ga je tretirati kao nepravog integrala, npr. izračunati ga kada je gornja granica integracije konačna, a zatim računati graničnu vrijednost, ako ta granica teži ka ∞. Antiderivacija funkcije koja se integriše je arctan x. Integral je

\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\rightarrow\infty}\arctan b-\arctan 0=\pi/2-0=\pi/2.

Nepravi integral konvergira samo ako i granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala, koji ne oknvergira:

\int_1^\infty {dx \over x} = \lim_{b\rightarrow\infty}\int_1^b\frac{dx}{x}=\lim_{b\rightarrow\infty}\ln b=\infty

Nekada će obje granice biti beskonačne. U tom slučaju, integral se može razbiti na sumu dva neprava integrala:

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,dx = \int_{-\infty}^a f(x) \,dx + \int_a^{+\infty} f(x) \,dx

gdje je a arbitražni konačni broje.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

Vertikalne asimptote u granicama integracije[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo

\int_0^1 \frac{dx}{x^{2/3}}.

Ova je integral funkcije sa vertikalnom asimptotom u x = 0.

Ovaj integral se može izračunati ako računamo u granicama od b (broj veći od nule) do 1, a zatim izračunati graničnu vrijednosti kada b teži 0 sa desne strane (pošto je interval naše integracije sa desne strane od 0). Treba primijetiti da je antiderivacija funkcije iznad upravo 3 x^{1/3},, tako da se integral može računati kao

\lim_{b\rightarrow 0^+}\int_b^1\frac{dx}{x^{2/3}}=3 \cdot 1^{1/3}-\lim_{b\rightarrow 0^+}3 b^{1/3}=3-0=3.

Nepravi integral konvergira samo ako granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala koji ne konvergira:

\int_0^1 {dx \over x} = \lim_{b\rightarrow 0^+}\int_b^1\frac{dx}{x}=\lim_{b\rightarrow 0^+}-\ln b=\infty

Ponekad se vrši integracija iznad intevala koji siječe vertikalna asimptota. U tom slučaju, može se integral rastaviti na sumu dva neprava integala sa obe strane:

\int_a^c f(x) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_b^c f(x) \,dx

gdje je b lokacija vertikalne asimptote.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

Cauchyjeva principijalna vrijednost[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo razliku u vrijednostima ova dva limesa:

\lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_a^1\frac{dx}{x}\right)=0,
\lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_{2a}^1\frac{dx}{x}\right)=-\ln 2.

Prethodni je Cauchyjeva principijalna vrijednost predhodno nedefinisanog izraza

\int_{-1}^1\frac{dx}{x}{\  }
\left(\mbox{which}\  \mbox{gives}\  -\infty+\infty\right).

Slično tome, imamo

\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=0,

ali

\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=-\ln 4.

Prethodni je principijalna vrijednost prethodno nedefinisanog izraza

\int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,dx}{x^2+1}{\  }
\left(\mbox{which}\  \mbox{gives}\  -\infty+\infty\right).

Sve prethodne granične vrijednosti su u nedefinisanoj formi ∞ − ∞.

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: