Granična vrijednost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Za druga značenja pojma Granična vrijednost pogledajte Granična vrijednost (čvor).

U matematici, granična vrijednost ili limes se koristi za opisivanje ponašanja funkcije kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata niza kako njihov indeks raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u kalkulusu i drugim granama matematičke analize kako bi se definisala derivacija i neprekidnost.

Granična vrijednost funkcije[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo da je ƒ(x) funkcija realne vrijednosti i da je c realan broj. Izraz:

 \lim_{x \to c}f(x) = L

znači da se ƒ(x) proizvoljno može približiti broju L ako je x dovoljno blizu broja c. U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od x, kada x teži u c, broj L".

Formalna definicija[uredi | uredi izvor]

Kad god je x unutar δ jedinica od p, f(x) je unutar ε jedinica od L

Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:

Neka f bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući c (osim u c) i neka L bude realan broj.

 \lim_{x \to c}f(x) = L

znači da

za svaki realan broj ε > 0 postoji realan broj δ > 0 takav da za svako x sa 0 < |x − c| < δ, imamo |f(x) − L| < ε.

ili, simbolički,

 \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x (0 < |x - c| < \delta \ \implies \ |f(x) - L| < \varepsilon).

Granična vrijednost niza[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: Granična vrijednost niza

Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.

formalno, pretpostavimo da je x1, x2, ... niz realnih brojeva. Kažemo da je realan broj L granična vrijednost ovog niza i to pišemo kao

 \lim_{n \to \infty} x_n = L

što riječima znači

Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj n0 takav da za svako n > n0, vrijedi |xn − L| < ε.

Korisni identiteti[uredi | uredi izvor]

Slijedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.

  • \lim_{n \to c} ( f(n) + g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)
  • \lim_{n \to c} ( f(n) - g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)
  • \lim_{n \to c} ( f(n) \sdot g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)
  • \lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\lim_{n \to c} f(n)}{\lim_{n \to c} g(n)}, ako limes u nazivniku nije jednak nuli

Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.

Na primjer, \lim_{n \to \infty} (3n+2) + (2-3n) = 4 , ali \lim_{n \to \infty} (3n+2) + \lim_{n \to \infty}(2-3n) je nedefinisan.

Veoma važne granične vrijednosti[uredi | uredi izvor]

  • \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
  • \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0
  • \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.

L'Hôpitalovo pravilo[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: L'Hôpitalovo pravilo

Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)

  • \lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n \to c} \frac{f'(n)}{g'(n)}

Na primjer:

\lim_{n \to 0} \frac{\sin (2n)}{\sin (3n)} =
\lim_{n \to 0} \frac{2 \cos (2n)}{3 \cos (3n)} =
\frac{2 \sdot 1}{3 \sdot 1} =
\frac{2}{3}.

Sume i integrali[uredi | uredi izvor]

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti \lim_{n \to \infty} \sum_{i=s}^{n} f(i) je \sum_{i=s}^{\infty} f(i).

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{n} f(x) \; dx je \int_{a}^{\infty} f(x) \; dx.

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti \lim_{n \to -\infty} \int_{n}^{b} f(x) \; dx je \int_{-\infty}^{b} f(x) \; dx.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]