Granična vrijednost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Za druga značenja pojma Granična vrijednost pogledajte Granična vrijednost (čvor).

U matematici, granična vrijednost ili limes se koristi za opisivanje ponašanja funkcije kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata niza kako njihov indeks raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u kalkulusu i drugim granama matematičke analize kako bi se definisala derivacija i neprekidnost.

Granična vrijednost funkcije[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo da je ƒ(x) funkcija realne vrijednosti i da je c realan broj. Izraz:

 \lim_{x \to c}f(x) = L

znači da se ƒ(x) proizvoljno može približiti broju L ako je x dovoljno blizu broja c. U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od x, kada x teži u c, broj L".

Formalna definicija[uredi | uredi izvor]

Kad god je x unutar δ jedinica od p, f(x) je unutar ε jedinica od L

Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:

Neka f bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući c (osim u c) i neka L bude realan broj.

 \lim_{x \to c}f(x) = L

znači da

za svaki realan broj ε > 0 postoji realan broj δ > 0 takav da za svako x sa 0 < |x − c| < δ, imamo |f(x) − L| < ε.

ili, simbolički,

 \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x (0 < |x - c| < \delta \ \implies \ |f(x) - L| < \varepsilon).

Granična vrijednost niza[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: Granična vrijednost niza

Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.

formalno, pretpostavimo da je x1, x2, ... niz realnih brojeva. Kažemo da je realan broj L granična vrijednost ovog niza i to pišemo kao

 \lim_{n \to \infty} x_n = L

što riječima znači

Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj n0 takav da za svako n > n0, vrijedi |xn − L| < ε.

Korisni identiteti[uredi | uredi izvor]

Slijedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.

  • \lim_{n \to c} ( f(n) + g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)
  • \lim_{n \to c} ( f(n) - g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)
  • \lim_{n \to c} ( f(n) \sdot g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)
  • \lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\lim_{n \to c} f(n)}{\lim_{n \to c} g(n)}, ako limes u nazivniku nije jednak nuli

Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.

Na primjer, \lim_{n \to \infty} (3n+2) + (2-3n) = 4 , ali \lim_{n \to \infty} (3n+2) + \lim_{n \to \infty}(2-3n) je nedefinisan.

Veoma važne granične vrijednosti[uredi | uredi izvor]

  • \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
  • \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0
  • \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.

L'Hôpitalovo pravilo[uredi | uredi izvor]

Glavna stranica: L'Hôpitalovo pravilo

Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)

  • \lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n \to c} \frac{f'(n)}{g'(n)}

Na primjer:

\lim_{n \to 0} \frac{\sin (2n)}{\sin (3n)} =
\lim_{n \to 0} \frac{2 \cos (2n)}{3 \cos (3n)} =
\frac{2 \sdot 1}{3 \sdot 1} =
\frac{2}{3}.

Sume i integrali[uredi | uredi izvor]

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti \lim_{n \to \infty} \sum_{i=s}^{n} f(i) je \sum_{i=s}^{\infty} f(i).

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{n} f(x) \; dx je \int_{a}^{\infty} f(x) \; dx.

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti \lim_{n \to -\infty} \int_{n}^{b} f(x) \; dx je \int_{-\infty}^{b} f(x) \; dx.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]