Granična vrijednost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Za druga značenja pojma Granična vrijednost pogledajte čvor članak.

U matematici, koncept "granične vrijednosti" koristi se za opisivanje ponašanja funkcije kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata niza kako njihov indeks raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u kalkulusu i drugim granama matematičke analize kako bi se definisala derivacija i neprekidnost.

Sadržaj

1 Granična vrijednost funkcije
- 1.1 Formalna definicija
2 Granična vrijednost niza
3 Korisni identiteti
4 Također pogledajte

[uredi] Granična vrijednost funkcije

Glavni članak: Granična vrijednost funkcije

Pretpostavimo da je ƒ(x) funkcija realne vrijednosti i da je c realan broj. Izraz:

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

znači da se ƒ(x) proizvoljno može približiti broju L ako je x dovoljno blizu broja c. U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od x, kada x teži u c, broj L".

[uredi] Formalna definicija

Kad god je x unutar δ jedinica od p, f(x) je unutar ε jedinica od L

Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:

Neka f bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući c (osim u c) i neka L bude realan broj.

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

znači da

za svaki realan broj ε > 0 postoji realan broj δ > 0 takav da za svako x sa 0 < |x − c| < δ, imamo |f(x) − L| < ε.

ili, simbolički,

$\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x (0 < |x - c| < \delta \ \implies \ |f(x) - L| < \varepsilon).$

[uredi] Granična vrijednost niza

Glavni članak: Granična vrijednost niza

Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.

formalno, pretpostavimo da je x₁, x₂, ... niz realnih brojeva. Kažemo da je realan broj L granična vrijednost ovog niza i to pišemo kao

$\lim_{n \to \infty} x_n = L$

što riječima znači

Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj n₀ takav da za svako n > n₀, vrijedi |x_n − L| < ε.

[uredi] Korisni identiteti

$\lim_{n \to c} S \sdot f(n) = S \sdot \lim_{n \to c} f(n)$ , gdje je S skalarni množilac.
$\lim_{n \to c} b^{f(n)} =\displaystyle b^{\lim_{n \to c} f(n)}$ , gdje je b konstanta.

Slijedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.

$\lim_{n \to c} ( f(n) + g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)$
$\lim_{n \to c} ( f(n) - g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)$
$\lim_{n \to c} ( f(n) \sdot g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)$
$\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\lim_{n \to c} f(n)}{\lim_{n \to c} g(n)}$ , ako limes u nazivniku nije jednak nuli

Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.

Na primjer, $\lim_{n \to \infty} (3n+2) + (2-3n) = 4$ , ali $\lim_{n \to \infty} (3n+2) + \lim_{n \to \infty}(2-3n)$ je nedefinisan.

[uredi] Veoma važne granične vrijednosti

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$
$\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x.$

[uredi] L'Hôpitalovo pravilo

Glavni članak: L'Hôpitalovo pravilo

Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)