Granična vrijednost niza

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
n n sin(1/n)
1 0,841471
2 0,958851
...
10 0,998334
...
100 0,999983

Kako pozitivni cijeli broj n postaje veći i veći, vrijednost n sin(1/n) postaje proizvoljno bliska broju 1. Možemo reći da je "granična vrijednost niza n sin(1/n) jednaka 1."

Granična vrijednost niza je jedan od najstarijih koncepta u matematičkoj analizi. On nam nudi strogu definiciju ideje da niz konvergira prema određenoj tački koju nazivamo granična vrijednost (limes).

Formalna definicija[uredi | uredi izvor]

  • Za niz realnih brojeva \{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;
Realan broj L naziva se granična vrijednost niza xn, a piše se kao
\lim_{n \to \infty} x_n=L,
ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N imamo |xnL| < ε.
Za element L\in M se kaže da je granična vrijednost niza, a piše se kao
\lim_{n \to \infty} x_n = L,
ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N, imamo d(xn,L) < ε.
Za element L\in T\; se kaže da je granična vrijednost ovog niza, a piše se kao
\lim_{n \to \infty} x_n=L,
ako i samo ako, za svaku okolinu S od L, postoji prirodan broj N, takav da je x_n\in S\; za sve n>N.\;

Ako niz ima graničnu vrijednost, kažemo da je niz konvergentan, a da niz konvergira u tu graničnu vrijednost. U suprotnom, niz je divergentan (također pogledajte: oscilacija).

Nulti niz je niz koji konvergira u 0.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

  • Niz 1, -1, 1, -1, 1, ... je divergentan.
  • niz 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... konvergira sa graničnom vrijednosti 1. Ovo je primjer beskonačnog reda.
  • Ako je a realan broj sa apsolutno vrijednošću |a| < 1, tada niz an ima graničnu vrijednost 0. Ako je 0 < a, tada niz a1/n ima graničnu vrijednost 1.

Također:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ ako je } p > 0

\lim_{n\to\infty} a^n = 0 \hbox{ ako je } |a| < 1
\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ ako je } a>0

Reference[uredi | uredi izvor]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]