Pravilo derivacije proizvoda

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

U matematici, pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (također se naziva i Leibnizov zakon; pogledajte članak derivacija), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija.

Zakon glasi:

(fg)'=gf'+fg' \,

ili direktno po Leibnizu:

{d\over dx}(uv)=u{dv\over dx}+v{du\over dx}.

Otkriće od strane Leibniza[uredi | uredi izvor]

Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu, koji ga je dokazao koristeći diferencijale. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći:

Neka su u(x) i v(x) dvije diferencijabilne funkcije od x. Tada je diferencijal od uv

d(uv)\, = (u + du)(v + dv) - uv\,
= u(dv) + v(du) + (du)(dv) \,

Pošto je (du) i (dv) zanemarljivo, Leibniz je zaključio da je

d(uv) = v(du) + u(dv) \,

što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx, dobit ćemo

\frac{d}{dx} (uv) = v \left( \frac{du}{dx} \right) + u \left( \frac{dv}{dx} \right)

koje se može napisati i kao

(uv)' = v u' + u v'. \,

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Rigorozni dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja.

Pretpostavimo

 h(x) = f(x)g(x),\,

i da su i f i g diferencijabilne u fiksnom broju x. Tada je

h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)

Sada razlika

 f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)

predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.

Regladelproducte.png

Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika

 f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)

Zbog toga, izraz (1) jednak je

\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)

Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak

 \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
+ \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right).
\qquad\qquad(5)

Sada

\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,

jer f(x) ostaje konstanta kao wx;

 \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)

jer je g diferencijabilna u x;

 \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)

jer je f diferencijabilna u x;

Na kraju je

 \lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,

jer je g neprekidna u x. Kako znamo da je g neprekidna u x? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.

Zaključujemo da je izraz (5) jednak

 f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]