Testovi konvergencije

U matematici, testovi konvergencije su metode testiranja konvergencije, uslovne konvergencije, apsolutne konvergencije, radijusa konvergencije ili divergencije beskonačnih redova.

Spisak testova

• D'Alambertov test. Pretpostavimo da za sve n, $a_n > 0$. Pretpostavimo da postoji $r$ takav da je

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = q$.

Ako je q < 1, tada red konvergira. Ako je q > 1, tada red divergira. Ako je q = 1, test je neodlučan, te red može ili konvergirati ili divergirati.

• Cauchyjev korjeni test ili Test n-tog korjena. Definišimo q na slijedeći način:

$q = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},$

gdje "lim sup" označavathe limes superior (moguće ∞; ako limes postoji u istoj vrijednosti).

Ako je q < 1, tada red konvergira. Ako je q > 1, tada red divergira. Ako je q = 1, test je neodlučan, te red može ili konvergirati ili divergirati.

• Cauchyjev integralni test konvergencije. Red se može uporediti sa integralom kako bi se odredila konvergencija ili divergencija. Neka $f(n) = a_n$ bude pozitivna, monotono opadajuća i neprekidna funkcija. Ako je

$\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,$

tada red konvergira. Ako ako integral divergira, kada red, također, divergira.

• Test poređenja. Ako je $\left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0$, i ako limes $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ postoji i različit je od nule, tada red $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergira ako i samo ako $\sum_{n=1}^\infty b_n$ konvergira.

• Abelov test

• Raabeov test

• Za neke posebne vrste redova postoje specijalizirani testovi konvergencije, na primjer za Fourierove redove postoji Dinijev test.

Uporedba

Cauchyjev korjeni test je jači od D'Alambertovog testa (jači je pošto je potreban uslov slabiji): kada god D'Alambertov test odredi konvergenciju ili divergenciju beskonačnog reda, Cauchyjev korjeni test odredi isto, ali obrnuto ne vrijedi.

Na primjer, za red

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...

konvergencija slijedi iz Cauchyjevog korjenog testa, ali ne i iz D'Alambertovog testa.

Primjeri

Razmotrimo red

$(*) \;\;\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$.

Cauchyjev test kondenzacije kaže da je red (*) konačnno konvergentan ako je red

$(**) \;\;\; \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \left ( \frac{1}{2^n}\right )^\alpha$

konačno konvergentan. Pošto je

$\sum_{n=1}^{\infty} 2^n \left ( \frac{1}{2^n}\right )^\alpha = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-n\alpha} = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{(1-\alpha)^n}$

(**) geometrijski red količnikom narednog i prethodnog člana od $2^{(1-\alpha)}$. (**) je konačno konvergentan ako je količnik manji od jedan. Zbog toga, (*) je konačno konvergentan ako i samo ako je $\alpha > 1$.

Testovi: Kada ih koristit i primjeri

http://www.math.cornell.edu/~alozano/calculus/testconvergence.pdf