Testovi konvergencije

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, testovi konvergencije su metode testiranja konvergencije, uslovne konvergencije, apsolutne konvergencije, radijusa konvergencije ili divergencije beskonačnih redova.

Spisak testova[uredi | uredi izvor]

  • D'Alambertov test. Pretpostavimo da za sve n, a_n > 0. Pretpostavimo da postoji r takav da je
\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = q.

Ako je q < 1, tada red konvergira. Ako je q > 1, tada red divergira. Ako je q = 1, test je neodlučan, te red može ili konvergirati ili divergirati.

q = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},

gdje "lim sup" označavathe limes superior (moguće ∞; ako limes postoji u istoj vrijednosti).

Ako je q < 1, tada red konvergira. Ako je q > 1, tada red divergira. Ako je q = 1, test je neodlučan, te red može ili konvergirati ili divergirati.

\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,

tada red konvergira. Ako ako integral divergira, kada red, također, divergira.

Uporedba[uredi | uredi izvor]

Cauchyjev korjeni test je jači od D'Alambertovog testa (jači je pošto je potreban uslov slabiji): kada god D'Alambertov test odredi konvergenciju ili divergenciju beskonačnog reda, Cauchyjev korjeni test odredi isto, ali obrnuto ne vrijedi.[1]

Na primjer, za red

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...

konvergencija slijedi iz Cauchyjevog korjenog testa, ali ne i iz D'Alambertovog testa.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo red

(*) \;\;\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}.

Cauchyjev test kondenzacije kaže da je red (*) konačnno konvergentan ako je red

 (**) \;\;\; \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \left ( \frac{1}{2^n}\right )^\alpha

konačno konvergentan. Pošto je

\sum_{n=1}^{\infty} 2^n \left ( \frac{1}{2^n}\right )^\alpha = 
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-n\alpha}  = 
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{(1-\alpha)^n}

(**) geometrijski red količnikom narednog i prethodnog člana od  2^{(1-\alpha)} . (**) je konačno konvergentan ako je količnik manji od jedan. Zbog toga, (*) je konačno konvergentan ako i samo ako je  \alpha > 1 .

Testovi: Kada ih koristit i primjeri[uredi | uredi izvor]

http://www.math.cornell.edu/~alozano/calculus/testconvergence.pdf

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]