Dinijev test

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, Dinijev i Dini-Lipschitzov test su jako precizni testovi koji mogu dokazati da Fourierov red funkcije konvergira u datoj tački. Ovi testovi su dobili naziv po Ulisseu Diniju i Rudolfu Lipschitzu.[1]

Definicija[uredi | uredi izvor]

Neka f bude funkcija na intervalu [0,2π], neka t bude neka neka tačka, te neka δ bude neki pozitivni broj. Definišemo lokalni modul neprekidnostiu tački t sa

\left.\right.\omega_f(\delta;t)=\max_{|\varepsilon| \le \delta} |f(t)-f(t+\varepsilon)|.

Važno je primjeteti da razmatramo f kao periodičnu funkciju, npr. ako je t = 0 i ε je negativno, tada definišemo funkciju f(ε) = f(2π + ε).

Globalni modul neprekidnosti (ili jednostavnije Modul neprekidnosti) je definisan sa

\left.\right.\omega_f(\delta) = \max_t \omega_f(\delta;t)

Sa ovim definicijama možemo iskazati glavne rezultate

Teorem (Dinijev test): Pretpostavimo da funkcija f, u tački t, zadovoljava

\int_0^\pi \frac{1}{\delta}\omega_f(\delta;t)\,d\delta < \infty.

Tada Fourierov red funkcije f konvergira u t do f(t).

Na primjer, teorem se slaže sa izrazom \omega_f=\log^{-2}(\delta^{-1}), ali se ne slaže sa izrazom \log^{-1}(\delta^{-1}).

Teorem (Dini-Lipschitzov test): Pretpostavimo da funkcija f zadovoljava

\omega_f(\delta)=o\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{-1}.

Tada Fourierov red funkcije f konvergira uniformno u f.

Generalno, svaka funkcija, koja zadovoljava Hölderov uslov, zadovoljava Dini-Lipschitzov test.

Preciznost[uredi | uredi izvor]

Oba testa su najbolji u svojoj klasi. Što se tiče Dini-Lipschitzovog testa, moguće je konstruisati funkciju f sa modulom neprekidnosti, koji zadovoljava test za O umjesto za o, npr.

\omega_f(\delta)=O\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{-1}.

gdje Fourierov red od f divergira.

Što se tiče Dinijevog testa, iskaz preciznosti je nešto duži: Iskaz kaže da za svaku funkciju Ω takvu da vrijedi

\int_0^\pi \frac{1}{\delta}\Omega(\delta)\,d\delta = \infty

postoji funkcija f takva da vrijedi

\left.\right.\omega_f(\delta;0) < \Omega(\delta)

gdje Fourierov red od f divergira u 0.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]