Taylorov red

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Kako stepen Taylorovog polinoma raste, približava se tačnoj funkciji. Ova slika prikazuje \sin x i Taylorovu aproksimaciju, polinome stepena 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.
Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih n+1 članova njenog Taylorovog reda u 0 (crveno).

U matematici, Taylorov red predastavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako za dobijanje reda koristimo izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu.

Definiciјa[uredi | uredi izvor]

Taylorov red za neku stalnu funkciјu f(x) sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku a јeste definisan ovako:


f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots

= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Kada funkciјa ima više argumenata, primenjuјemo:


T(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}
\frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}}
\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}

U slučaјu da dobiјemo višedimenzionalnu funkicјu, koristimo se sledećom metodom:


T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots

gde јe \nabla f(\mathbf{a}) gradijent, a \nabla^2 f(\mathbf{a}) Hesseova matrica.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Maclaurinov red za bilo kojoji polinom je ponovo polinom.

Maclaurinov red za (1 − x)−1 je geometrijski red

1+x+x^2+x^3+\cdots\!

tako da Taylorov red za x−1 u a = 1

1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!

Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazimo Maclaurinov red za −log(1  − x), gdje log označava prirodni logaritam:

x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\cdots\!

a odgovarajući Taylorov red za log(x) u a = 1 je

(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3-\frac{(x-1)^4}4+\cdots.\!

Taylorov red za eksponencijalnu funkciju e^x u  a=0 je

1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \qquad = \qquad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\!

Gornji izraz važi zato što je derivacija od ex također ex, a e0 jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)n u brojniku, a n! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.

Konvergentnost[uredi | uredi izvor]

Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve x. U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak, R_n(x) = f(x) - T_n(x), konvergira prema 0.

Kada јe f(x) sama potencijalni red oko tačke a, onda јe Taylorov red identičan sa njim.

Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcija[uredi | uredi izvor]

Također pogledajte: Spisak matematičkih redova
Kosinusna funkcija u kompleksnoj ravni.
Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u kompleksnoj ravni.
Dvije gornje krive postavljene zajedno.

Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente x\!.

Eksponencijalna funkcija:

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ za sve } x\!

Prirodni logaritam:

\log(1-x) = -\sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ za } |x|\le 1, \, x\not= 1
\log(1+x) =  \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ za } |x|\le 1, \, x\not= -1

Konačan geometrijski red:

\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ za }  x \not= 1\text{ i } m\in\mathbb{N}_0\!

Beskonačan geometrijski red:

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ za } |x| < 1\!

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ za } |x| < 1 \text{ i } m\in\mathbb{N}_0\!
\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ za } |x| < 1\!

Kvadratni korijen:

\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \text{ za } |x|<1\!

Binemni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):

(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ za sve } |x| < 1 \text{ i sve kompleksne } \alpha\!

sa općenitim binomnim koeficijentima

{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.\!

Trigonometrijske funkcije:

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ za sve } x\!
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ za sve } x\!
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!
gdje je B Bernoullijev broj.
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ za } |x| < 1\!
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ za } |x| \le 1\!

Hiperbolička funkcija:

\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =  x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ za sve } x\!
\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ za sve } x\!
\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{z^3}{3}+\frac{2}{15}z^5-\frac{17}{315}z^7+\cdots \text{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!
\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ za } |x| < 1\!
\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ za } |x| < 1\!

Lambertova W funkcija:

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\text{ za } |x| < \frac{1}{\mathrm{e}}\!

Brojevi Bk, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernoullijev broj. Ek u razvijanju sec(x) je Eulerov broj.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: