Taylorov red

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Kako stepen Taylorovog polinoma raste, približava se tačnoj funkciji. Ova slika prikazuje \sin x i Taylorovu aproksimaciju, polinome stepena 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.
Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih n+1 članova njenog Taylorovog reda u 0 (crveno).

U matematici, Taylorov red predastavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako za dobijanje reda koristimo izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu.

Definiciјa[uredi | uredi izvor]

Taylorov red za neku stalnu funkciјu f(x) sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku a јeste definisan ovako:


f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots

= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Kada funkciјa ima više argumenata, primenjuјemo:


T(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}
\frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}}
\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}

U slučaјu da dobiјemo višedimenzionalnu funkicјu, koristimo se sledećom metodom:


T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots

gde јe \nabla f(\mathbf{a}) gradijent, a \nabla^2 f(\mathbf{a}) Hesseova matrica.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Maclaurinov red za bilo kojoji polinom je ponovo polinom.

Maclaurinov red za (1 − x)−1 je geometrijski red

1+x+x^2+x^3+\cdots\!

tako da Taylorov red za x−1 u a = 1

1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!

Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazimo Maclaurinov red za −log(1  − x), gdje log označava prirodni logaritam:

x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\cdots\!

a odgovarajući Taylorov red za log(x) u a = 1 je

(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3-\frac{(x-1)^4}4+\cdots.\!

Taylorov red za eksponencijalnu funkciju e^x u  a=0 je

1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \qquad = \qquad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\!

Gornji izraz važi zato što je derivacija od ex također ex, a e0 jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)n u brojniku, a n! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.

Konvergentnost[uredi | uredi izvor]

Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve x. U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak, R_n(x) = f(x) - T_n(x), konvergira prema 0.

Kada јe f(x) sama potencijalni red oko tačke a, onda јe Taylorov red identičan sa njim.

Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcija[uredi | uredi izvor]

Također pogledajte: Spisak matematičkih redova
Kosinusna funkcija u kompleksnoj ravni.
Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u kompleksnoj ravni.
Dvije gornje krive postavljene zajedno.

Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente x\!.

Eksponencijalna funkcija:

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ za sve } x\!

Prirodni logaritam:

\log(1-x) = -\sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ za } |x|\le 1, \, x\not= 1
\log(1+x) =  \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ za } |x|\le 1, \, x\not= -1

Konačan geometrijski red:

\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ za }  x \not= 1\text{ i } m\in\mathbb{N}_0\!

Beskonačan geometrijski red:

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ za } |x| < 1\!

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ za } |x| < 1 \text{ i } m\in\mathbb{N}_0\!
\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ za } |x| < 1\!

Kvadratni korijen:

\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \text{ za } |x|<1\!

Binemni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):

(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ za sve } |x| < 1 \text{ i sve kompleksne } \alpha\!

sa općenitim binomnim koeficijentima

{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.\!

Trigonometrijske funkcije:

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ za sve } x\!
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ za sve } x\!
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!
gdje je B Bernoullijev broj.
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ za } |x| < 1\!
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ za } |x| \le 1\!

Hiperbolička funkcija:

\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =  x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ za sve } x\!
\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ za sve } x\!
\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{z^3}{3}+\frac{2}{15}z^5-\frac{17}{315}z^7+\cdots \text{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!
\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ za } |x| < 1\!
\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ za } |x| < 1\!

Lambertova W funkcija:

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\text{ za } |x| < \frac{1}{\mathrm{e}}\!

Brojevi Bk, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernoullijev broj. Ek u razvijanju sec(x) je Eulerov broj.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: