Taylorov red

Kako stepen Taylorovog polinoma raste, približava se tačnoj funkciji. Ova slika prikazuje $\sin x$ i Taylorovu aproksimaciju, polinome stepena 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.

Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih n+1 članova njenog Taylorovog reda u 0 (crveno).

U matematici, Taylorov red predastavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako za dobijanje reda koristimo izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu.

Definiciјa

Taylorov red za neku stalnu funkciјu $f(x)$ sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku $a$ јeste definisan ovako:

$f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

Kada funkciјa ima više argumenata, primenjuјemo:

$T(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$

U slučaјu da dobiјemo višedimenzionalnu funkicјu, koristimo se sledećom metodom:

$T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots$

gde јe $\nabla f(\mathbf{a})$ gradijent, a $\nabla^2 f(\mathbf{a})$ Hesseova matrica.

Primjeri

Maclaurinov red za bilo kojoji polinom je ponovo polinom.

Maclaurinov red za (1 − x)⁻¹ je geometrijski red

$1+x+x^2+x^3+\cdots\!$

tako da Taylorov red za x⁻¹ u a = 1

$1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!$

Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazimo Maclaurinov red za −log(1  − x), gdje log označava prirodni logaritam:

$x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\cdots\!$

a odgovarajući Taylorov red za log(x) u a = 1 je

$(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3-\frac{(x-1)^4}4+\cdots.\!$

Taylorov red za eksponencijalnu funkciju $e^x$ u $a=0$ je

$1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \qquad = \qquad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\!$

Gornji izraz važi zato što je derivacija od e^x također e^x, a e⁰ jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)ⁿ u brojniku, a n! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.

Konvergentnost

Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve $x$. U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak, $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$, konvergira prema 0.

Kada јe $f(x)$ sama potencijalni red oko tačke $a$, onda јe Taylorov red identičan sa njim.

Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcija

Također pogledajte: Spisak matematičkih redova

Kosinusna funkcija u kompleksnoj ravni.

Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u kompleksnoj ravni.

Dvije gornje krive postavljene zajedno.

Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente $x\!$.

Eksponencijalna funkcija:

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ za sve } x\!$

Prirodni logaritam:

$\log(1-x) = -\sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ za } |x|\le 1, \, x\not= 1$

$\log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ za } |x|\le 1, \, x\not= -1$

Konačan geometrijski red:

$\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ za } x \not= 1\text{ i } m\in\mathbb{N}_0\!$

Beskonačan geometrijski red:

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ za } |x| < 1\!$

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

$\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ za } |x| < 1 \text{ i } m\in\mathbb{N}_0\!$

$\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ za } |x| < 1\!$

Kvadratni korijen:

$\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \text{ za } |x|<1\!$

Binemni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):

$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ za sve } |x| < 1 \text{ i sve kompleksne } \alpha\!$

sa općenitim binomnim koeficijentima

${\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.\!$

Trigonometrijske funkcije:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ za sve } x\!$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ za sve } x\!$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!$

gdje je B Bernoullijev broj.

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ za } |x| < 1\!$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ za } |x| \le 1\!$

Hiperbolička funkcija:

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ za sve } x\!$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ za sve } x\!$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{z^3}{3}+\frac{2}{15}z^5-\frac{17}{315}z^7+\cdots \text{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!$

$\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ za } |x| < 1\!$

$\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ za } |x| < 1\!$

Lambertova W funkcija:

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\text{ za } |x| < \frac{1}{\mathrm{e}}\!$

Brojevi B_k, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernoullijev broj. E_k u razvijanju sec(x) je Eulerov broj.

Također pogledajte

• Taylorov teorem
• Laurentov red
• Dokaz da su holomorfske funkcije analitičke
• Newtonov polinom
• Diferencijalna mašina
• Teorem srednje vrijednosti