Integracija trigonometrijskih proizvoda kao kompleksnih eksponencijala

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Funkcije koje sadrže sinus ili kosinus mogu se izraziti kao kompleksni eksponencijali korištenjem Eulerove formule.

Primjer: Pretpostavimo da želimo integrisati:

\int e^x \cos x \, dx

Tada kosinusna funkcija može biti izražena u svom Eulerovom obliku: \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}

\int e^x \cdot \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \, dx
{1\over 2} \int e^{x(1+i)} + e^{x(1-i)} \, dx

Ova funkcija je mnogo lakša za integrisanje.

Alternativno, možemo razmatrati realni i imaginarni dio kompleksnih brojeva

Kosinus je realni dio kompleksnog broja napisanog u obliku cos x + i sin x

\int e^x \cos x dx =

\int e^x \mathrm{Re}\{ \cos x + i\cdot \sin x \} dx

\int e^x \mathrm{Re}\{ e^{ix} \} dx

\mathrm{Re}\{  \int e^x e^{ix}  dx \}

\mathrm{Re}\{  \int e^{(i+1)x}  dx \}

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]


E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Integracija trigonometrijskih proizvoda kao kompleksnih eksponencijala koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.