Dirichletov red

U matematici, Dirichletov red je svaki red oblika

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$

gdje su s i a_n, (n = 1, 2, 3, ...) kompleksni brojevi.

Dirichletov red igra mnogo važnih uloga u analitIčkoj teoriji brojeva. Najčešća definicija Riemannove zeta-funkcije je Dirichletov red, kao što su Dirichletove L funkcije. Pretpostavlja se da se Selbergova klasa redovao pokorava generalizovanoj Riemannovoj hipotezi. Red je dobio ime u čast Johann Peter Gustav Lejeune Dirichleta.

Primjeri

Najpoznatiji Dirichletov red je

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},$

što predstavlja Riemannovu zeta-funkciju. Drugi je:

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

gdje je μ(n) Möbiusova funkcija. Ovaj i mnogi drugi redovi mogu se dobiti primjenom Möbiusove formule inverzije i Dirichletove konvolucije na poznate redove. Na primjer, za dati Dirichletov karakter $\scriptstyle \chi (n)$ dobija se

${\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}$

gdje je $L(\chi ,s)$ Dirichletova L funkcija.

Drugi identiteti su

${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}$

gdje je φ(n) Eulerova fi funkcija, i

$\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}$

gdje je σ_a(n) sigma funkcija. Drugi identiteti sa funkcijom d=σ₀ su

${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.$

Logaritam zeta-funkcije dat je sa

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}$

za Re(s) > 1. Ovdje je $\scriptstyle \Lambda (n)$ von Mangoldtova funkcija. Logaritamska derivacija je tada

${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.$

Zadnje dvije formule su specijalni slučajevi općenitijeg odnosa derivacija Dirichletovog reda, datog ispod.

Za datu Liouvilleovu funkciju $\scriptstyle \lambda (n)$, imamo

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.$

Još jedan primjer uključuje Ramanujanovu sumu:

${\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.$

Analitičke osobine Dirichletovog reda: apscisa konvergencije

Za dati niz {a_n}_{n ∈ N} kompleksnih brojeva pokušavamo odrediti vrijednost

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

kao funkcije kompleksne promjenljive s. Kako bi ovo imalo smisla, moramo odrediti osobine konvergencije za gornji bekonačani red:

Ako je {a_n}_{n ∈ N} ograničen niz kompleksnih brojeva, tada odgovarajući Dirichletov red f konvergira apsolutno na otvorenoj poluravni s tako da je Re(s) > 1. Općenitije, ako je a_n = O(n^k), red konvergira apsolutno na poluravni Re(s) > k + 1.

Ako je skup suma a_n + a_{n + 1} + ... + a_{n + k} ograničen sa n i k ≥ 0, tada gornji beskonačni red konvergira na otvorenoj poluravni s tako da vrijedi Re(s) > 0.

U oba slučaja f je analitička funkcja odgovarajuće otvorene poluravni.

Općenito, apscisa konvergencije Dirichletovg reda je prekid realne ose vertikalne linije u kompleksnoj ravni, takav da postoji konvergencija sa lijeve, a divergencija sa desne strane. Ovo je analogno za Dirichletov red radijusa konvergencije za potencijalne redove. Slučaj kod Dirichletovog reda je komplikovan, jer se apsolutna konvergencija i uniformna konvergencija mogu javiti u različitim poluravnima.

Derivacije

Za dato

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

za potpuno multiplikativnu funkciju ƒ(n), te pretpostavljajući da red konvergira za Re(s) > σ₀, dobijamo da

${\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}$

konvergira za Re(s) > σ₀. Ovdje, $\scriptstyle \Lambda (n)$ je von Mangoldtova funkcija.

Proizvodi

Pretpostavimo

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}$

i

$G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.$

Ako su oba F(s) i G(s) apsolutno konvergentni za s > a i s > b tada imamo

${\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,dtF(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ kako }}T\sim \infty .$

Ako je a = b i ƒ(n) = g(n) imamo

${\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ kako }}T\sim \infty .$

Transformacije integrala

Mellinova transformacija Dirichletovog reda data je Perronovom formulom.

Također pogledajte

• Regularizacija zeta-funkcije

Reference

• G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).
• The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections