Gram-Schmidtov postupak

Gram-Schmidtov postupak je metoda u linearnoj algebri koja služi za ortogonalizaciju skupa vektora u zadanom euklidskom prostoru.

Postupak je sljedeći: Uzmimo na primjer vektorski prostor proizvoljne dimenzije Rⁿ baze {v₁, v₂, ... ,v_n}, Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije možemo transformirati bazu {v_i} u ortonormiranu bazu, {u_i}. Prvo normaliziramo v₁: u₁=v₁/||v₁||.

Nakon toga izračunavamo:w₂=v₂-<v₂,u₁>u₁, pa normaliziramo w₂: u₂=w₂/||w₂||

Ovaj postupak primjenimo za sve vektore iz baze {v_i}: w_i+1=v_i+1-<v_i+1,u_iui>- ... - <v_i+1,u₁>u₁ i u_i+1=w_i+1/||w_i+1||. Vektori {u₁, ... ,v_n} su linearno nezavisni, i stoga čine bazu vektorskog prostora Rⁿ.

Primjer

Uzmimo sljedeći skup vektora u Rⁿ (sa uobičajenim skalarnim produktom)

$S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\right\rbrace.$

Sad primjenimo Gram-Schmidtov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:

$\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$

$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1} \, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} - \mathrm{proj}_{({3 \atop 1})} \, {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2/5 \\6/5 \end{pmatrix}.$

Provjerimo vektore u₁ i u₂ kako bismo utvrdili da su zaista ortogonalni:

$\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.$

Sada ih možemo normalizirati, tako što ćemo ih podijeliti s njihovim dužinama:

Prvi koraci Gram-Schmidtovog postupka.

$\mathbf{e}_1 = {1 \over \sqrt {10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$

$\mathbf{e}_2 = {1 \over \sqrt{40 \over 25}} \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} = {1\over\sqrt{10}} \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}.$