Vektorski prostor

Vektorski ili linearni prostor je algebarski pojam u matematici koji nalazi primjenu u svim glavnim granama matematike, među kojima su linearna algebra, analiza i analitička geometrija. Definiše se na sljedeći način:

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na sabiranje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element označujemo sa 0 i zovemo nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dvije binarne operacije označujemo sa 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × V → V, koje svakom skalaru $\alpha \in F$ i svakom vektoru $x \in V$ pridružuje vektor $\alpha x\in V$, tako da vrijede sljedeći aksiomi:

(I) $\alpha (\beta x)=(\alpha \beta) x, \forall \alpha , \beta \in F, \forall x\in V$

(II) $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y, \forall \alpha \in F, \forall x, y \in V$

(III) $(\alpha + \beta )x=\alpha x+\beta x, \forall \alpha ,\beta \in F, \forall x \in V$

(IV) $1x=x, \forall x \in V$

Ovako se definisano preslikavanje zove množenje vektora skalarom, dok se V naziva vektorski prostor nad poljem F i piše V(F).

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori. Također, vektorski se prostor u kojem je definisan skalarni produkt naziva Euklidski vektorski prostor.

Također pogledati

• Spisak vektorskih identiteta