Talasna jednačina

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Talasna jednačina je važna linearna parcijalna diferencijalna jednačina drugog reda koja opisuje prostiranje većine talasa, kao što su zvučni talasi, svjetlosni talasi i vodeni talasi. Koristi se u oblastima kao što su akustika, elektromagnetizam i dinamika fluida. Historijski, problem vibrirajuće žice, kao što je ona na muzičkim instrumentima, proučavao su Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli i Joseph Louis Lagrange.

Puls putuje kroz žicu sa fiksiranim krajevima, što je prikazano talasnom jednačinom.
Sferični talas koji nastaje u tačkastom izvoru.

Uvod[uredi | uredi izvor]

Talasna jednačina je prototipni primjer hiperboličke parcijalne diferencijalne jednačine. U svom najjednostvnijem obliku, talasna jednačina odnosi se na skalarnu funkciju u koja zadovoljava:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2 u,

gdje je \scriptstyle\nabla^2 Laplacijan i gdje je c fiksna konstanta jednaka brzini prodiranja talasa. Za zvučni talas u zraku na 20°C, ova konstanta iznosi oko 343 m/s (pogledajte članak brzina zvuka). Za vibracije žice, brzina može varirati široko, u zavisnosti od linearne gustoće žive i zategnutosti iste. Za spiralnu oprugu (slinki) može biti spora i do jednog metra u sekundi. Realističnije diferencijalne jednačine za talas dopuštaju da brzina talasa varira sa frekvencijom talasa, što je fenom poznat pod nazivom disperzija. U takvom slučaju, c mora biti zamijenjeno sa faznom brzinom:

v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.

još jedna oubičajana korekcija u realističnim sistemima je da brzina, također, može zavisiti od amplitude talasa, što dovodi do nelinearne talasne jednačine:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \nabla^2 u

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
  • M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
  • R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
  • "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.
  • Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]