Vrijeme poluraspada

Vrijeme poluraspada (eng. half-life) supstance je vrijeme za koje se raspadne polovina početnog broja jezgara.

Poslije # poluraspada	Procenat preostale količine
0	100%
1	50%
2	25%
3	12.5%
4	6.25%
5	3.125%
6	1.5625%
7	0.78125%
...	...
N	$\frac{100%}{2^N}$
...	...

Tabela desno pokazuje smanjenje količine u vezi sa brojem pređenih poluraspada.

Radioaktivni raspad je slučajan proces u kojem vjerovatnoća da će se jedno jezgro raspasti ne zavisi od toga koliko se jezgara već raspalo i koliko će ih se tek raspasti. To znači da je vjerovatnoća raspada $\lambda$, konstanta koja ne zavisi ni od vremena, t, ni od broja neraspadnutih jezgara, N. To je odlika procesa prvog reda i tada je broj jezgara koja se raspadnu u jedinici vremena $\frac{dN}{dt}$ jednak proizvodu vjerovatnoće da dođe do raspada i broja prisutnih jezgara, N:

$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$

Minus u gornjoj jednačini označava da broj jezgara tokom vremena opada, tj., brzina je negativna.

Preuređenjem dobija se diferencijalna jednačina prvog reda:

$\frac{dN}{N} = -\lambda dt.$

čijim rješavanjem

$\ln N = -\lambda t + D \,$

nalazimo

$N = Ce^{-\lambda t} \,$

gde se brojna konstanta $C = e^D.$ određuje iz početnog uslova da je pri t = 0 broj jezgara $N_0$:

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \,$.

Ovdje je:

• $N_0$ početna vrijednost N-a (na t=0)
• λ pozitivna konstanta (konstanta raspada) koja označava kolika je vjerovatnoća da se izvjesno jezgro raspadne u jedinici vremena.

Kada t teži beskonačnosti, broj jezgara koja se još nisu raspala približava se nuli. To je, recimo objašnjenje zašto na Zemlji nema prirodnih radioaktivnih izotopa sa vremenom poluraspada kraćim od 4,5 milijardi godina. Naime, procjenjuje se da je to starost Zemlje i sva jezgra koja su imala kraće vrijeme poluraspada već su se odavno raspala t.j. za njih je N = 0.

Konkretno, postoji vrijeme $t_{1/2} \,$ takvo da:

$N(t_{1/2}) = N_0\cdot\frac{1}{2}$

Smenjujući u formulu iznad, dobijamo:

$N_0\cdot\frac{1}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} \,$

$e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2} \,$

$- \lambda t_{1/2} = \ln \frac{1}{2} = - \ln{2} \,$

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \,$

Tako da je vrijeme poluraspada jednako 69.3% prosječnog životnog vijeka.

Starost Zemlje se procenjuje na 4,5 milijardi godina upravo na osnovu vremena poluraspada uranija-238, prirodnog radioaktivnog izotopa, koje iznosi 4,468 milijardi godina.

Raspad od dva ili više nezavisnih procesa

Raspad može da se odvija preko dva ili više procesa. Ako su procesi nezavisni onda postoji različito vrijeme poluraspada povezano sa svakim procesom.

Kao primjer, za dva nezavisna raspada, količina supstance ostale poslije vremena t se daje kao

$N(t) = N_0 e^{-\lambda _1 t} e^{-\lambda _2 t} = N_0 e^{-(\lambda _1 + \lambda _2) t}$

Na način sličan prethodnom odjeljku, možemo da računamo novo totalno vrijeme poluraspada $T _{1/2} \,$ pa nalazimo da je

$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda _1 + \lambda _2} \,$

ili, u vezi sa dva poluraspada

$T_{1/2} = \frac{t _1 t _2}{t _1 + t_2} \,$

gdje je $t _1 \,$ vrijeme poluraspada prvog procesa, a $t _2 \,$ drugog.