Abelov teorem

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Za Abelov teorem o algebarskim krivima, pogledajte članak Abel-Jacobijeva mapa
Za Abelob teorem o nerješivosti jednačine petog stepena sa radikalima, pogledajte članak Abel-Ruffinijev teorem

U matematici, Abelov teorem za potencijalne redove dovodi u vezu graničnu vrijednost potencijalnog reda sa sumom njegovih koeficijenata. Teorem je dobio naziv po norveškom matematičaru Nielsu Henriku Abelu.

Teorem[uredi | uredi izvor]

Neka a = {ak: k ≥ 0} bude bilo koji red realnih ili kompleksnih brojeva i neka

G_a(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k\!

bude potencijalni red sa koeficijentima a. Pretpostavimo da red \sum_{k=0}^\infty a_k\! konvergira. Tada je

\lim_{z\rightarrow 1^-} G_a(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k.\qquad (*)\!

U specijalnom slučaju gdje su svi koeficijenti ai realni, te gdje je ak ≥ 0 za sve k, tada gornja formula (*) vrijedi i ikada red \sum_{k=0}^\infty a_k\! ne konvergira. Na primjer, u tom slučaju obje strane formule jednaku su +∞.

Napomena[uredi | uredi izvor]

U općenitijoj verziji ovog teorema, ako je r bilo koji realni broj različit od nule za koji red 
\sum_{k=0}^\infty a_k r^k\! konvergira, tada vrijedi da

\lim_{z\to r} G_a(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kr^k\!

s tim da graničnu vrijednost u ovoj formuli posmatramo kao jednostranu graničnu vrijednost, sa lijeve strane ako je r pozitivan, te sa desne, ako je r negativan.

Primjene[uredi | uredi izvor]

Korisnost Abelovog teorema je ta da nam dozvoljava da pronađeno graničnu vrijednost potencijalnog reda kako njegov argument (npr. z) teži ka 1 odozdo, čak i u slučajevima gdje je radijus konvergencije, R, potencijalnog reda jednak 1, kada ne možemo biti sigurni da li granična vrijednost treba biti određena ili ne. Pogledajte primjer: Binomni red.

Ga(z) se naziva generativna funkcija niza a. Abelov teorem je često koristan za rad sa generativnim funkcijama realnih vrijednosti i nenegativnih nizova, kao što su generativne funkcije vjerovatnoće. Posebno je korisna u teroiji Galton-Watsonovih procesa.

Slični koncepti[uredi | uredi izvor]

Suprotni teoremi od Abelovog nazivaju se Tauberijski teoremi: ne postoji tačna suprotnost, nego samo rezultati koji zavise od nekih hipoteza. Polje divergentnih redova i metoda njihovih sabiranja, sadrži mnogo teorema abelijskog i tauberijskog tipa.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]