Bernoullijeva diferencijalna jednačina

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Wiki letter w.svg Ovaj članak je siroče zato što nema ili vrlo malo ima drugih članaka koji linkuju ovamo.
Molimo Vas da postavite linkove prema ovoj stranici sa srodnih članaka(23-02-2012)

U matematici, obična diferencijalna jednačina oblika

y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,

naziva se Bernoullijeva diferencijalna jednačina kada je n≠1, 0. Bernoullijeve jednačine su posebne, pošto su one nelinearne diferencijalne jednačine sa poznatim egzaktnim rješenjima. Dijeljenjem sa y^n dobijamo

\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x).

Zamjenom varijabli pretvaramo je u linearnu diferencijalnu jednačinu prvog reda.

w=\frac{1}{y^{n-1}}
w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'
\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)

Dobijena jednačina može se riješiti korištenjem integracionog faktora

M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}.

Primjer[uredi | uredi izvor]

Razmatrajmo Bernoullijevu jednačinu

y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2

Dijeljenjem sa y^2 dobijamo

y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2

Zamjenom varijabli dobijamo jednačine

w = \frac{1}{y}
w' = \frac{-y'}{y^2}.
w' + \frac{2}{x}w = x^2

koje se mogu riješiti korištenjem integracionog faktora

M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.

Množenjem sa M(x), dobijamo

w'x^2 + 2xw = x^4,\,

Uočite da je lijeva strana derivacija od wx^2. Integracijom obe strane dobijamo jednačine

\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx
wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C
\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C

Rješenje za y je

y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]