Bernoullijeva diferencijalna jednačina

U matematici, obična diferencijalna jednačina oblika

$y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,$

naziva se Bernoullijeva diferencijalna jednačinakada je n≠1, 0. Bernoullijeve jednačine su posebne, pošto su one nelinearne diferencijalne jednačine sa poznatim egzaktnim rješenjima. Dijeljenjem sa $y^n$ dobijamo

$\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x).$

Zamjenom varijabli pretvaramo je u linearnu diferencijalnu jednačinu prvog reda.

$w=\frac{1}{y^{n-1}}$

$w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'$

$\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)$

Dobijena jednačina može se riješiti korištenjem integracionog faktora

$M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}.$

Primjer

Razmatrajmo Bernoullijevu jednačinu

$y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2$

Dijeljenjem sa $y^2$ dobijamo

$y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2$

Zamjenom varijabli dobijamo jednačine

$w = \frac{1}{y}$

$w' = \frac{-y'}{y^2}.$

$w' + \frac{2}{x}w = x^2$

koje se mogu riješiti korištenjem integracionog faktora

$M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.$

Množenjem sa $M(x)$, dobijamo

$w'x^2 + 2xw = x^4,\,$

Uočite da je lijeva strana derivacija od $wx^2$. Integracijom obe strane dobijamo jednačine

$\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx$

$wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C$

$\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C$

Rješenje za $y$ je

$y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}$